Zadání 4. série 36. ročníku

Robert zjistil, že do své nové čelovky musí dát 3 baterie o kapacitě $1~000\,\mathrm{mAh}$ a napětí $U=1{,}5\,\mathrm{V}$. V čelovce jsou baterie zapojeny sériově. Za jak dlouho se baterie vybijí, pokud napájí čelovku o výkonu $P=5\,\mathrm{W}$ a účinnosti $\eta=90\,\mathrm{\%}$?

Balónek o hmotnosti $m_{\mathrm{b}}=2{,}7\,\mathrm{g}$ a objemu $V_0=4\,\mathrm{l}$ byl napuštěn heliem o stejné teplotě, jakou má okolní vzduch, tedy $T_0=20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Uvnitř balónku je tlak o $\Delta p=2\,\mathrm{kPa}$ vyšší než v okolí. Na jakou teplotu musíme balónek a plyn v něm zchladit, aby se přestal vznášet? Předpokládejte, že po zchlazení bude v balónku atmosférický tlak.

Všichni to známe – uzavírky na silnicích a nekonečné stání na semaforech. Zelená svítí po dobu $60\,\mathrm{s}$, ale než se stačí všichni rozjet, už je zase červená. Uvažujme $0{,}5\,\mathrm{s}$ reakční dobu řidiče, než se rozjede poté, co se dalo do pohybu auto před ním. O kolik procent by se zvýšil počet aut, která projedou uzavírkou, kdyby se všichni ve frontě rozjeli současně? První auto stojí na úrovni semaforu, vzdálenost předních nárazníků všech aut odhadněme na $5\,\mathrm{m}$ a všechna se rozjíždí rovnoměrně zrychleně po dobu $5\,\mathrm{s}$ na rychlost $30\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$, kterou pak pokračují dále do uzavírky.

Máme hvězdářský (Keplerův) dalekohled, který chceme vyslat do vesmíru. Nejdřív si ho však vyzkoušíme na Zemi, kde naměříme zvětšení $Z$. Jak se musí změnit vzájemná vzdálenost čoček, aby měl stejné zvětšení i ve vesmíru? Čočky mají index lomu $n$.

Dva mimozemšťané bydlí každý na své kosmické stanici. Stanice se nacházejí ve volném prostoru a vzdálenost mezi nimi je $L$. Když chce jeden mimozemšťan navštívit druhého, musí nasednout do své nerelativistické rakety a doletět k sousedovi. Jaký nejkratší čas může mimozemšťan strávit na cestě tam i zpět? Hmotnost rakety s palivem je $m$, bez paliva $m_0$. Výtoková rychlost spalin je $u$, tok paliva je libovolný. Jeho soused mu žádné palivo načerpat nedovolí (sám má málo).

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Diskutujte, jaké fyzikální jevy ovlivňují rychlost plavby lodi a ponorky. Jaké odporové síly na ně působí? Jakou nejvyšší rychlostí loď nebo ponorka může plout?

Mějme přes tyč omotané lano se závažím o hmotnosti $m$ na jednom svém konci. Změřte závislost hmotnosti zátěže $M$ na druhém konci potřebné k uvedení lana do pohybu na počtu obtočení lana kolem tyče.

1. Na začátku seriálu jsme zmínili několik aproximací, které jsme použili – jednak zafixování jader a jednak zanedbání relativistických efektů. Pro které prvky čekáte, že se budou elektrony nejvíce vzájemně ovlivňovat s pohybem jader, a proč? A ve které části periodické tabulky si myslíte, že se nejvíce projeví relativistické efekty? Z jakého důvodu? $\left(2\,\mathrm{b}\right)$
2. Celková energie molekuly vody, jak ji dostaneme z kvantově chemického výpočtu, je cca. $-75\,\mathrm{Ha}$. Energie uvolněná slučováním vodíku a kyslíku na vodu je $242\,\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$. Pokud spočítáme energii reaktantů i produktů s chybou $1\,\mathrm{\%}$, jaká bude chyba v určení reakční energie? Také zkuste najít nějakou analogii s měřením v reálném světě. (Například: „Zvážím se s pětikorunou a bez ní, abych určil její hmotnost.“) $\left(3\,\mathrm{b}\right)$
3. Nainstalujte si program Psi4 a pokuste se spočítat, o kolik se liší energie lodičkové a (zkřížené) vaničkové konformace cyklohexanu. Můžete použít přiložené vstupní soubory s již optimalizovanou geometrií. Jak moc se liší výsledek od experimentální hodnoty $21\,\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$? $\left(2\,\mathrm{b}\right)$

   Poznámka: Pokud narazíte na problémy s programem Psi4, neváhejte se ozvat na emailovou adresu mikulas@fykos.cz

4. Zkuste spočítat energii reakce pro chloraci benzenu $\ce{C_6H_6} + \ce{Cl_2} \Rightarrow \ce{C_6H_5Cl} + \ce{HCl}$. Srovnejte s experimentální hodnotou $-134\,\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$. Můžete využít geometrii molekuly benzenu. $\left(3\,\mathrm{b}\right)$

   Bonus: Vyberte svoji oblíbenou (nebo jakoukoliv jinou) chemickou reakci a spočítejte její energii. (až $+3\,\mathrm{b}$)