Zadání 6. série 27. ročníku

Máme dvě homogenní nerotující planety tvaru dokonalých koulí s vnějšími poloměry $R_{Z}$. První z nich je dokonalá koule o hustotě $ρ$ a na jejím povrchu je gravitační zrychlení $a_{g}$. Druhá je dutá do poloviny jejího poloměru a až pak je plná.

• Pokud by obě planety byly ze stejného homogenního materiálu, na povrchu které planety bude větší gravitační zrychlení a jaký bude poměr mezi hodnotami gravitačního zrychlení na obou planetách?
• Pokud by i na povrchu druhé planety bylo gravitační zrychlení $a_{g}$, jaká by musela být hustota druhé planety?

Již před více než sto lety měření geodetů potvrdila, že když plujeme lodí směrem na západ, ukazují gravimetry větší hodnoty tíhového zrychlení než při cestě na východ. Určete, jaký rozdíl naměříme na rovníku, jestliže nejprve provedeme měření v klidu a poté za konstantní rychlosti 20 uzlů v západním směru.

Máme měděnou plnou kouli a měděnou tenkou kulovou slupku (tak tenkou, že můžete zanedbat její tloušťku). Obě mají při pokojové teplotě stejný poloměr. Jak se bude jejich poloměr měnit, když je začneme ohřívat? (Zapište závislost poloměru na teplotě a okomentujte ji.) U měděné slupky uvažujte, že má v sobě malé otvory, které vyrovnávají vnitřní a vnější tlak vzduchu.

V tmavém koutě číhá pavouk, který právě polapil mouchu a postupně ji tráví za předpokladu, že trávení probíhá podle rovnice

$$\mathrm{A} + \mathrm{B} \mathop{\rightleftharpoons}_{k_{-1}}^{k_1} \mathrm{AB} \stackrel{k_2}{\longrightarrow} \mathrm C + \mathrm B\,,$$

kde A je muší substrát, B jsou trávicí látky (neustále v dostatku) a C je produkt trávení. AB označuje nestabilní meziprodukt. Reakce je prvního řádu, tzn. rychlost je přímo úměrná koncentraci dané látky. Určete, za jak dlouho se pavouk vydá opět na lov, jestliže mu interoreceptory oznámí pocit hladu při poklesu koncentrace substrátu na 10 % původní hodnoty.

Nápověda: Použijte aproximaci stacionárního stavu meziproduktu.

Roli s papírem uchytíme do ložiska (bez tření) a necháme odmotávat konec papíru (zanedbáme lepení vrstev na sebe, tření v ložisku a hmotnost ložiska). Jakou úhlovou rychlostí se bude otáčet rulička potom, co se odmotá všechen papír? Známe poloměr a hmotnost ruličky, délkovou hustotu papíru, jeho celkovou hmotnost a délku. Uvažujte, že se papír bude odmotávat do nekonečné hloubky.

Bonus: Uvažujte, že papír dopadne na zem dříve, než se celý odmotá.

Navrhněte rozmístění světel nad stolem tak, abyste dodrželi normy pro osvětlení. K dispozici máte dostatečné množství kompaktních zářivek (lidově úsporných žárovek) se světelným tokem $P=1400\, \jd{lm}$. Normy říkají, že pro běžné pracovní úkony má být osvětlení pracovní plochy $E=300\, \jd{lx}$. Zářivky můžete umístit do libovolných pozic na strop ve výšce $H=2\;\mathrm{m}$ nad pracovní plochu. Pro jednoduchost uvažujte čtvercovou pracovní plochu o straně $a=1\;\mathrm{m}$ a zářivku považujte za bodový izotropní zdroj záření. Odraz a rozptyl světla zanedbejte.

Určete rychlost světla v průhledném želatinovém dortu, který sami připravíte. Nezapomeňte popsat jeho složení.

Nápověda: Sežeňte si na to třeba laser nebo mikrovlnku.

• Jak bude vypadat spektrum otevřené struny na hmotnostní hladině $M^2 =2⁄α′$? Kolik máme možných stavů struny na této hladině?
• Pokud bychom uvažovali interakci tachyonu s jinými strunami, zjistili bychom, že ho můžeme popsat přibližně jako částici pohybující se v nějakém potenciálu. Uvažujme model struny, která je upevněna na nestabilní D-bráně. Odpovídající potenciál tachyonu je určen vztahem

$$V(\phi)=\frac{1}{3\alpha'}\frac{1}{2\phi _0}(\phi-\phi _0)^2\left (\phi + \frac{1}{2}\phi _0\right )\,,$$

kde $\alpha'$ a $φ_0$ jsou kladné konstanty. Roznásobte závorky a určete hmotnost tachyonu jako dvojnásobek koeficientu stojícího před $\phi^2$. Najděte minimum potenciálu $\widetilde{\phi}$ a ukažte, že provedeme-li v potenciálu záměnu $\phi \rightarrow \widetilde{\phi}+\phi$ (tj. rozvíjíme teorii kolem minima tachyonového potenciálu), dostaneme po roznásobení a odečtení koeficientu před $\phi^2$ kladnou hmotnost tachyonu. Záporná hmotnost tedy ukazuje na nestabilitu D-brány a ve stabilní konfiguraci, kdy D-brána vymizí (minimum potenciálu), již hmotnost není záporná.

• Teorie superstrun umožňuje popis fermionů. Pro jejich popis je však potřeba antikomutujících veličin. Pro ty se zavede namísto komutátoru antikomutátor vztahem

$$\{A,B\}=AB + BA$$

Najděte takové dvě $2\times 2$ matice $a$ a $b$, které splňují $\{b,\,b\} = 1$, $\{b,\,b\} = 1$ a $\{a,\,b\} = 0$.