Zadání 5. série 38. ročníku

Jindra vlastní list papíru s vyříznutým čtvercovým otvorem o délce strany $a = 3\,\mathrm{mm}$. Je krásný slunečný den, a tak vzal Jindra tento list papíru ven, aby si promítl svůj čtverec na chodník. Nejprve přiložil papír do vzdálenosti asi $2\,\mathrm{mm}$ nad osluněný povrch. Jaký tvar má světlá skvrna na chodníku způsobená čtvercovým otvorem v papíru? Poté Jindra svůj oblíbený papír oddálil do vzdálenosti zhruba $1{,}5\,\mathrm{m}$ nad chodníkem. Jaký tvar má světlá skvrna nyní? Vysvětlete, proč se stín chová právě tímto způsobem.

Hadici naplníme vodou – jeden konec necháme v rezervoáru vody, druhý hermeticky uzavřeme – a začneme vytahovat svisle nahoru. Jaký bude rozdíl výšek, do kterých se nám takto podaří vytáhnout vodu, pokud použijeme vodu o teplotě $20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a $90\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$?

Nápověda: Zamyslete se, jak dobré vakuum se v uzavřeném konci vytvoří.

Tomáš nastoupil do vlakového vagónu a řekl si, že si zdřímne. Když se však vzbudil, zjistil, že je ve vagónu sám a spolu s vagónem obíhá Zemi ve výšce $h = 400\,\mathrm{km}$ nad zemským povrchem ve stavu beztíže. Vagón byl orientovaný kolmo na orbitu jeho těžiště a na radiální směr.

Tomáš se zaradoval, protože ho napadlo, že využije nehomogenitu gravitačního pole Země na změření délky vagónu. Vytáhl ze svého batohu dva kilogramové etalony, které pro podobné příležitosti nosí vždy při sobě. Umístil je na opačné konce vagónu a do středu mezi ně dal laserový měřič, díky kterému zjistil jejich vzájemnou vzdálenost. Zapnul stopky a po čase $t = 60\,\mathrm{s}$ zjistil, že se tato vzdálenost etalonů změnila o $\Delta l = 4\,\mathrm{cm}$. Jakou délku vagónu $L$ naměřil? Uvažujte, že na závaží během pohybu působí konstantní síla. Hmotnost Země je $M = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}$ a střední poloměr Země je $R = 6~371\,\mathrm{km}$.

Možná jste někdy byli na minigolfu, kde na jedné jamce byla překážka v podobě houpačky. Houpačku si můžeme představit jako desku s hmotností $M$ a délkou $l$, která se může otáčet kolem horizontální osy, jež je ve výšce $h$ nad zemí a prochází středem desky. Míček s hmotností $m$ a poloměrem $r$ na tuto rampu přijede ze směru kolmého na otáčející se osu a postupně desku převáží tak, aby se otočila a míček mohl sjet na druhou stranu. Míček se po celou dobu kutálí, aniž by došlo k prokluzu. Sestavte rovnice pohybu pro takový systém – řešit je nemusíte.

Marek má dvě stejné kovové kostky o konstantní tepelné kapacitě $C$, jednu o teplotě $T_1$ a druhou o teplotě $T_2$. Na jaké nejvyšší a nejnižší teplotě se mohou obě ustálit, pokud je uvede do kontaktu a může je používat pouze na pohánění tepelného stroje?

Nápověda: Když už nebudete vědět, uvažte, že entropie nikdy neklesne.

Jaký izotop je nejnebezpečnější z hlediska nehod jaderných elektráren? Berte ohled na množství, které může být při havárii uvolněno, šanci úniku, šíření konkrétních izotopů a jejich vliv na lidský organismus.

Pokuste se co nejpřesněji změřit svoji zeměpisnou šířku bez použití GPS nebo jiného prostředku využívajícího informace o vaší poloze. Svoji zeměpisnou délku můžete považovat za známou.

1. V Levičově rovnici se na pravé straně objevují fyzikální veličiny v neceločíselných mocninách. Ověřte, že levá i pravá strana má stejnou jednotku. – 1 bod

2. V kádince určené pro rotační diskovou elektrodu jsme v $750\,\mathrm{ml}$ čisté vody rozpustili $0{,}63\,\mathrm{g}$ sedmdesátiprocentní kyseliny chloristé a vše promíchali. Na platinové pracovní elektrodě kruhového tvaru o průměru $5{,}0\,\mathrm{mm}$ jsme poté měnili napětí pro reakci vzniku vodíku, až jsme dosáhli limitního proudu $0{,}29\,\mathrm{mA}$. Po jeho změření jsme elektrodu roztočili na frekvenci $3~600\,\mathrm{rpm}$, kde velikost limitního proudu byla $11{,}5\,\mathrm{mA}$. Určete difuzní koeficient a tloušťku difuzní vrstvy před roztočením. Kinematická viskozita vody je $\nu = 0{,}9\,\mathrm{mm^2\cdot s^{-1}}$. – 3 body

3. Najděte nejvyšší výkon, který může galvanická cela s následujícími parametry poskytnout, a určete odpovídající zátěž. Pro jednoduchost uvažujte Tafelův režim s Tafelovým sklonem $100\,\mathrm{mV/dec}$ a parametrem $I_0 = 2\cdot 10^{-8}\,\mathrm{A}$. Ohmický odpor je $R_\Omega = 55\,\mathrm{m\Omega}$. Napětí při rozpojeném obvodu je $1{,}18\,\mathrm{V}$, difuzní režim neuvažujte. – 3 body

4. Odvoďte Kouteckého-Levičovu rovnici, kterou jsme uvedli v textu seriálu. Vyjděte z odvozování Levičovy rovnice za situace, kdy $c(z=0) = c^s \neq 0$. – 3 body