Zadání 3. série 32. ročníku

Mikuláš v obchodě vložil několik banánů do igelitového sáčku. Před jejich zvážením ho napadlo, že kdyby pytlík naplnil místo vzduchu heliem, budou banány stát o něco méně. Helium Mikuláš koupil ve slevě za jednu korunu na litr při standardním tlaku. Jaká musí být cena banánů, aby se mu tento „podvod“ vyplatil?

Bonus Nalezněte plyn, u kterého se vyplatí plnit jím sáček při ceně banánů $30$ korun na kilogram. Nezapomeňte citovat zdroje ceny daného plynu.

Jsou dvě hodiny v noci a Jáchym si jde uvařit kafe. Na plotýnku, kterou tvoří litinový válec o poloměru $r$ a výšce $h$, položí konvici s tepelnou kapacitou $C_{\mathrm{k}}$. Konvice obsahuje vodu o objemu $V$, která má počáteční teplotu $T_{\mathrm{v}}$. Zbytek soustavy má počáteční teplotu $T_{\mathrm{s}}$. Jaká je celková účinnost (tj. poměr energie přijaté vodou ku dodané energii) ohřevu vody z její počáteční teploty na teplotu $T = 100\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$? Neznámé hodnoty si dohledejte v tabulkách, nebo je odhadněte. Předpokládejte, že děj proběhne tak rychle, že všechny tepelné ztráty můžeme zanedbat. Pro úplnost zadání nechť $T_{\mathrm{s}}, T_{\mathrm{v}} < T$.

Jaký poloměr by musela mít Dysonova sféra, aby obklopila hvězdu se zářivým výkonem Slunce tak, že na vnějším povrchu této sféry by byla teplota $t= 25\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$? Neuvažujte přítomnost atmosféry v Dysonově sféře. Dysonova sféra by měla být relativně tenká dutá struktura kulového tvaru obklopující danou hvězdu.

Představme si měděnou smyčku o poloměru $r$, která je určena rovinou, na níž je kolmé magnetické pole s magnetickou indukcí $B$. Maximální povolené tahové napětí ve smyčce je $\sigma_p$. Nyní začneme měnit magnetický tok ve smyčce z původní hodnoty $\Phi_0$ podle vzahu $\Phi(t) = \Phi_0 + \alpha t$, kde $\alpha$ je kladná konstanta. Určete, za jak dlouho dosáhneme ve smyčce maximálního tahového napětí.

Nápověda Napěťovou sílu ve smyčce můžeme spočítat jako $T = |BIr|$.

Uvažujme hmotný bod umístěný v jednodimenzionálním prostoru. Jeho počáteční pozice i rychlost je nulová. Bod se dokáže pohybovat s libovolným zrychlením z intervalu $\left[- a, a\right]$. Nazvěme $M(t)$ množinu všech možných stavů $\left(x, v\right)$ takových, že bod se v čase $t$ může nacházet na pozici $x$ s rychlostí $v$. Sestrojme graf závislosti $v$ na $x$ v čase  $t$. Množina $M(t)$ v tomto grafu vytvoří plochu $S(t)$. Analyticky popište křivky ohraničující $S(t)$.

Bonus Najděte funkční závislost obsahu $S(t)$.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Poslední procenta baterky v mobilu dochází, powerbanku máte vybitou nebo jste si ji pro jistotu nechali doma a 230 také není nikde v dohledu. Nebylo by skvělé mít neustále při sobě vlastní zdroj elektrické energie?

• Navrhněte několik různých zařízení, která by dokázala vyrábět elektrickou energii pouze ze zdrojů vašeho těla.

• Diskutujte jejich maximální výkon a účinnost. Co všechno byste s jejich pomocí dokázali zásobovat elektřinou?

• Diskutujte jejich dopad na vaše zdraví a fyzickou kondici. Které orgány by vám v důsledku jejich přetěžování selhaly nejdříve?

Jako jedno z možných zařízení uvažujte soustavu drobných turbín umístěných v krevním řečišti. Všechny argumenty podpořte co nejpřesnějšími výpočty.

Poštou vám přišel elektrolytický kondenzátor a rezistor. Změřte kapacitu kondenzátoru a odpor rezistoru, neměřte je však přímo. Součin kapacity kondenzátoru a odporu rezistoru je přibližně $RC\approx 20\,\mathrm{s}$.

Varování Elektrolytický kondenzátor má kladnou a zápornou elektrodu, při zapojení opačně ho můžete zničit. Maximální dovolené napětí je $10\,\mathrm{V}$.

1. Mějme vodorovnou desku, ve které je malá dírka. Přes tuto dírku je provlečený provázek o délce $l$, na jehož spodním konci je zavěšeno závaží o hmotnosti $M$. Toto závaží lze považovat za hmotný bod. Na druhém konci provázku na rovné desce je druhý hmotný bod (kulička) o hmotnosti $m$. Provázek mezi nimi je napnutý díky závaží o hmotnosti $M$. Celou soustavu držíme v klidu tak, že část provázku pod deskou je ve svislém směru. Poté druhému hmotnému bodu, kuličce, udělíme rychlost $v$ ve vodorovném směru kolmém na provázek ve chvíli, kdy soustavu uvolníme. V tomto příkladu neuvažujte žádné tření. Zvolte vhodné souřadnice a sestavte Lagrangeovu funkci pro tuto soustavu.

2. Mějme železnou tyč ohnutou do tvaru paraboly tak, že pokud v kartézské soustavě působí tíhové zrychlení v záporném směru osy $y$, pak tyč má stejný tvar jako funkce $y = x^2$. Po tyči se může volně pohybovat hmotný bod o hmotnosti $M$, ke kterému je pevnou nehmotnou tyčkou o délce $l$ připevněno závaží o hmotnosti $m$. Takto jsme vytvořili kyvadlo se závěsem klouzajícím podél ohnuté tyče. Konstrukce dovoluje pohyb celé soustavy pouze v rovině paraboly. Určete vhodné zobecněné souřadnice a najděte Lagrangeovu funkci této soustavy.

3. Mějme přímku nakloněnou pod úhlem $\alpha$ vzhledem k vodorovné rovině, po které se pohybuje bez tření hmotný bod o hmotnosti $m$. Najděte vhodné zobecněné souřadnice této soustavy a sestavte Lagrangeovu funkci. Poté sestavte i Lagrangeovy rovnice, dvakrát je zintegrujte, a tak najděte řešení. Zkontrolujte si, zda vaše řešení vychází stejně, jako řešení, které byste získali středoškolskou metodou výpočtu. Při integraci nezapomeňte na integrační konstanty a vysvětlete jejich význam. Jaké budou jejich hodnoty, pokud se bod spustí z klidu z výšky $h$?