Deadline pro odeslání: 25. 11. 2023, 23:59.

Zadání 1. série 37. ročníku

O semináři Pravidla Jak psát řešení Pořadí řešitelů
Text seriálu 1. série Brožurka s řešeními

1... Moby Dick

3 body

Některé druhy živočichů, jako jsou kytovci, se orientují pomocí echolokace. Předpokládejme, že kytovec vydává zvukový signál hrtanem umístěným přesně mezi ušima vzdálenýma $a$. Uvažujme, že ve stejné hloubce jako velryba pluje ponorka. Vydaný zvuk se od ní odrazí a k bližšímu uchu dorazí za čas $t$ od okamžiku vyslání. Je-li časový posun mezi zachycením zvuku pravým a levým uchem $\Delta t$, jaká je vzdálenost a směr k ponorce?

Výprava velrybářská se Radce poněkud vymkla z rukou.

2... řazení vlaku

3 body

Jarda stojí na konci nástupiště a čeká na příjezd svého vlaku. Když kolem něj projíždí první vagón vlaku, zjistí, že právě v tomto voze má svoji místenku. V tomto okamžiku je rychlost vlaku $8{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a vlak začne rovnoměrně zpomalovat, až zastaví za čas $28\,\mathrm{s}$. Jarda se ihned rozešel ke dveřím svého vagónu, protože se ale musí prodírat davy cestujících, je jeho rychlost jen $1\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Jak nejméně dlouho musí vlak ve stanici stát, aby Jarda stihnul nastoupit do svého vagónu?

Jarda už zase jede do Prahy.

3... nový bicykl

5 bodů

Cyklista o hmotnosti $m_{\mathrm{c}}=62{,}3\,\mathrm{kg}$ se na svém kole rozjede konstantním výkonem z klidu na cílovou rychlost za čas $t=103\,\mathrm{s}$. Ocelový rám a vidlice jeho bicyklu má hmotnosti $M=6{,}50\,\mathrm{kg}$ a každé z obou kol hmotnost $m=1~950\,\mathrm{g}$. Jak dlouho by mu to trvalo, kdyby se rozjížděl na kole s karbonovým rámem a vidlicí, které je čtyřikrát lehčí? Hmotnost ostatních částí bicyklu je zahrnuta v hmotnosti cyklisty.

Dodo si půjčil sestřino kolo.

4... kamionové salto

7 bodů

Legolasovi se zdál sen, ve kterém kamion zabrzdil tak rychle, že se kontejner zdvihl ze země a udělal salto nad kabinou. Zajímalo ho, jestli je to možné, tak se pokusil spočítat si to. V jeho modelu má celý kamion hmotnost $m$ a je složen z tahače a kontejneru. Ten se může ve všech směrech volně otáčet okolo bodu, kde je s tahačem spojený. Když je kamion na vodorovné cestě, je těžiště kontejneru o $h$ výše než tento spoj a o $l$ za ním. Jakou silou, v závislosti na sklonu silnice $\phi$, musí kamión brzdit, aby se kola pod kontejnerem zvedla z cesty?

Legovi sa doslova snívala.

5... otužování v létě

10 bodů

V zimě Matěj našel balík polystyrenu o objemu $0{,}5\,\mathrm{m^3}$ a rozhodl se, že ho využije. Vyrobí si z něj krabici tvaru krychle a ze zamrzlého rybníku si pak nařeže led, který v polystyrenu uschová ve sklepě, kde je konstantní teplota $9\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Jak velkou by měl Matěj vyrobit krychli, aby mu v ní po půl roce zbylo co největší množství ledu? A kolik kilogramů ledu mu zbude? Uvažujte, že led z rybníka má teplotu přesně $0\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Objem polystyrenu spotřebovaný na hrany krychle zanedbejte.

Nápověda: Součinitel tepelné vodivosti je nejsnadněji dohledatelný parametr polystyrenu.

Matěj si půjčil balík polystyrenu ze stavby.

P... raketová

10 bodů

Kolik paliva potřebujeme k vynesení předmětu o hmotnosti $m=1\,\mathrm{kg}$ na nízkou oběžnou dráhu za použití současných technologií?

Skřítek chtěl ušetřit na raketovém palivu.

E... utřeme papír

12 bodů

Změřte koeficient statického tření mezi dvěma listy kancelářského papíru.

Návod pro řešení experimentálních úloh
Karel četl recepty napříč.

S... meriame čas

10 bodů

  1. Za ako dlho sa v dlhodobom priemere posunie jarná rovnodennosť o jeden deň pri používaní Gregoriánskeho kalendára?
  2. O koľko sa zmení doba kmitu kyvadla s dobou kmitu $t=1\,\mathrm{s}$ pri zmene teploty o $T=10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, ak je tyč a aj na nej zavesené oveľa ťažšie závažie vyrobené z medi? Akými procesmi na takéto kyvadlo vplýva zmena atmosférického tlaku a vlhkosti vzduchu?
  3. Odhadnite akú dĺžku má najkratšia „tyč“ z kremeňa, ktorá rezonuje na frekvencii $f=5\,\mathrm{MHz}$? Uvažujte hustotu kremeňa $\rho=2{,}65\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$ a modul pružnosti $E \approx 80\,\mathrm{GPa}$ a kmity v pozdĺžnom smere s jedným koncom upevneným a druhým voľným.
  4. Majme izotop $\ce{^{a} X}$, ktorý sa s polčasom $T_{1/2}$ rozpadá na izotop $\ce{^{b}Y}$. Vo vzorke zmeriame vo viacerých miestach relatívne zastúpenie izotopov materského a dcérskeho nuklidu voči inému izotopu dcérskeho prvku, o ktorom predpokladáme v čase nemenné zastúpenie: $\left[\ce{^{a}X}\right]/\left[\ce{^{c}Y}\right]$, $\left[\ce{^{b}Y}\right]/\left[\ce{^{c}Y}\right]$. Ako určíme vek vzorky $t$? Oba izotopy prvku Y sú stabilné a vyskytujú sa v pôvodnom materiále. Iné jadrové premeny neuvažujte.

Pokud hledáte starou webovou stránku, najdete ji na https://old.fykos.cz