Zadání 5. série 30. ročníku

Jakou silou bude přidržována hlava našeho sněhuláka, který si volně poletuje ve vesmíru? Máme sněhuláka tvořeného pouze homogenními koulemi o hustotě $ρ$, jejichž středy leží na jedné přímce a koule se dotýkají, jsou umístěné v pořadí od největší po nejmenší a s tím, že nejmenší koule (hlava) má poloměr $r$ a každá další má dvojnásobný poloměr, co ta předchozí. Ve vesmíru je pouze náš sněhulák a nijak nerotuje.

Bonus: Zobecněte úlohu pro počet koulí $N \geq 3$. Bude se síla blížit nějaké konečné hodnotě pro $n→∞$, nebo půjde k nekonečnu?

V některých případech řešení úloh s odporem vzduchu či obecně tekutiny používáme pro odporovou sílu Newtonův vzorec $$F=\frac{1}{2}C\rho Sv^2 \,,$$ kde $C$ je součinitel odporu tělesa ve směru pohybu tělesa, $ρ$ je hustota tekutiny, $S$ je průřez a $v$ je rychlost pohybu tělesa. Ten obvykle docela dobře platí pro turbulentní prostředí. Zajímáme se o kouli, pro kterou $C=0,\! 50$. V laminárním proudění pak obvykle používáme Stokesův vztah $$F = 6 \pi \eta r v \, ,$$ kde $η$ je dynamická viskozita tekutiny a $r$ je poloměr koule. Pokud máme nějakou konkrétní kouli, je možné, aby se pro nějakou rychlost tyto odpory rovnaly? Jak bude tato rychlost záviset na poloměru koule?

Představte si situaci, kdy máme 3 stejné nerotující disky, které se pohybují přesně v jedné přímce v pořadí 1, 2, 3. Všechny tři se pohybují bez tření a dalších odporových sil po vodorovné podložce, přičemž disky 1 a 2 jedou doprava a proti nim jede disk 3 doleva. Platí, že rychlost 1 je větší než 2. Jak závisí výsledné rychlosti disků po proběhnutí všech srážek na pořadí srážek? A jaké tyto rychlosti budou? Srážky probíhají pružně. (Jako vždy nezapomeňte, že odpověď je potřeba řádně zdůvodnit.)

Bonus: Disky mají různou hmotnost.

Dvě závaží zanedbatelných rozměrů o hmotnosti $m=100\; \mathrm{g}$ spojíme pružným nehmotným provázkem o klidové délce $l_{0}=1\;\mathrm{m}$ s tuhostí $k=50\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-2}$. Jedno závaží držíme na místě a druhé kolem něj necháme rotovat s frekvencí $f=2\;\mathrm{Hz}$. První závaží se přitom může volně otáčet kolem své osy. V jednu chvíli držené závaží uvolníme. Na jakou minimální vzdálenost se k sobě závaží přiblíží? Neuvažujte vliv gravitačního pole a předpokládejte platnost Hookeova zákona.

Máme balónek s hmotností (po nafouknutí) $m$ a objemem $V$ naplněný héliem, na kterém je přivázaná (prakticky nekonečná) stužka s délkovou hustotou $τ=10\;\mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-1}$. Předpokládejte izotermickou atmosféru, pro níž je závislost atmosférického tlaku $p$ na výšce $z$ daná vztahem $p=p_0 \mathrm{e}^{-z/z_0}$, ($z_{0}$ je parametr atmosféry). Balónek položíme k zemi a poté ho uvolníme. Do jaké maximální výšky balónek vyletí?

Popište zobrazovací soustavy mikroskop (složený ze 2 spojek) a Keplerův dalekohled. Vysvětlete rozdíl ve funkci a konstrukci mikroskopu a dalekohledu a načrtněte průchod paprsků. Jak se dá smysluplně definovat zvětšení pro dané optické prvky? Odvoďte pro zvětšení konkrétní vzorce.

Změřte modul pružnosti v torzi vlasce $G$, který jsme vám poslali společně se zadáním.

• Zkuste vlastními slovy popsat, k čemu a jak se používá lineární regrese (postačí vlastními slovy popsat následující: dva hlavní případy aplikace lineární regrese, používaný model, předpoklady modelu, postup volby prokládané funkce, způsob vyjádření nejistot měření, základní grafické metody regresní diagnostiky). Není potřeba uvádět přesná matematická odvození, stačí požadované pojmy a vlastnosti stručně popsat.
• V přiloženém datovém souboru linreg1.csv naleznete výsledky určitého fyzikálního experimentu, ve kterém jsme měřili dvojice dat $(x_{i},y_{i})$. Naměřenými daty chceme proložit teoretickou funkci, kterou je v tomto případě parabola, tedy funkce tvaru

$$f(x)=ax^2 + bx + c$$ Hlavním cílem experimentu je určit hodnotu koeficientu $a$ (tedy koeficient u $x^2$). Určete hodnotu tohoto koeficientu včetně nejistoty měření. Není potřeba provádět regresní diagnostiku.

• V přiloženém datovém souboru linreg2.csv naleznete výsledky určitého fyzikálního experimentu, ve kterém jsme měřili dvojice dat $(x_{i},y_{i})$. Naměřenými daty chceme proložit teoretickou funkci, kterou je v tomto případě logaritmická funkce, tedy funkce tvaru

$$f(x)=a + b \cdot \log{x} \, .$$ Hlavním cílem zpracování dat je vykreslit graf naměřených dat spolu s proloženou teoretickou závislostí. Vykreslete takovýto graf (včetně intervalového odhadu pro prokládanou funkci) a stručně ho okomentujte (takovýto graf musí mít všechny náležitosti). Není potřeba provádět regresní diagnostiku.

• Předpokládejme, že máme naměřeny dvojice dat $(x_{i},y_{i})$ a chceme jimi proložit lineární funkční závislost, tedy funkci tvaru

$$f(x)=a + bx \, .$$ Odvoďte přesnou podobu vzorce na výpočet hodnoty odhadů regresních koeficientů. Můžete použít libovolnou ze dvou metod představených v seriálu a také libovolné jiné zdroje, pokud je budete řádně citovat. Vzorec chceme opravdu odvodit (tj. uvést výpočet), nikoliv pouze napsat.

Bonus: V druhé a třetí úloze proveďte regresní diagnostiku a diskutujte, zda jsou splněny všechny potřebné předpoklady (pokud to jde, proveďte také test vhodnosti prokládané funkce a diskutujte jeho výsledky). Pro práci s daty použijte výpočetní prostředí R. Pro vyřešení těchto úkolů postačí drobně upravit přiložený skript, ve kterém je pomocí komentářů v kódu vysvětlena potřebná syntaxe jazyka R.