Zadání 4. série 34. ročníku

Od vodovodního kohoutku se těsně za sebou odtrhnou dvě kapky a začnou padat dolů. Jak se bude jejich vzájemná vzdálenost měnit v čase? Odpor vzduchu zanedbejte.

Bonus Odpor vzduchu započítejte, odhadněte potřebné parametry a určete vzdálenost kapek po dlouhé době.

Jakou práci vykonáme při zkroucení pružiny z rovnovážné polohy o úhel $\alpha=60^\circ$, pokud pružinu ve zkrouceném stavu udržujeme momentem síly $M=1{,}0\,\mathrm{N\cdot m}$?

Mějme bodový zdroj světla a rovinnou skleněnou desku s indexem lomu $n = 1{,}50$. V místě paty kolmice od zdroje na desku se uvnitř desky nacházejí vlnoplochy s poloměrem křivosti $R = 5{,}00\,\mathrm{m}$. Jaká je skutečná vzdálenost zdroje a desky?

Mravenci přišli na zajímavý způsob vyhřívání mraveniště – vylezou ven, nechají se ohřát slunečním zářením a opět vlezou dovnitř, kde zase předají teplo mraveništi. To aproximujeme kuželem o výšce $H=0{,}8\,\mathrm{m}$ s poloměrem podstavy $R_0=1{,}5\,\mathrm{m}$. Celulózové stěny s tepelnou vodivostí $\lambda = 0{,}039\,\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}$ jsou široké $2\,\mathrm{cm}$.

Předpokládejme, že veškerá tepelná výměna mezi mraveništěm a okolím (které má teplotu $T_{\mathrm{o}} = 10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$) je zprostředkována pouze mravenci a vedením přes stěny, tepelnou výměnu se zemí můžeme zanedbat. Mravenec váží $m = 5\,\mathrm{mg}$ a má měrnou tepelnou kapacitu odhadem $4~000\,\mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$. Kolik mravenců vyhřátých na $T_{\mathrm{m}} = 37\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ musí každou sekundu přilézt do mraveniště, aby v celém vnitřním objemu udrželi konstantní teplotu $T_{\mathrm{M}} = 20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$?

Efchári a Goiteía jsou dvě složky dvojplanety okolo nedávno vzniklé hvězdné soustavy. Obíhají okolo společného těžiště po kruhových trajektoriích ve vzdálenosti $a = 250\cdot 10^{3}\,\mathrm{km}$. Efchári má poloměr $R_1 = 4~300\,\mathrm{km}$, hustotu $\rho_1 = 4~100\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a dobu siderické rotace $T_1 = 14\,\mathrm{h}$. Goiteía je menší s poloměrem $R_2 = 3~800\,\mathrm{km}$, má však větší hustotu $\rho_2 = 4~500\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a kratší dobu rotace $T_2 = 11\,\mathrm{h}$. Osy rotace planet i soustavy jsou rovnoběžné. Za několik set milionů let přejde soustava díky slapovým silám do tzv. vázané rotace. Určete výslednou změnu oběžné doby za předpokladu, že tělesa jsou homogenní a přibližně sférická.

Jak by fungovalo letectví na jiných planetách (s atmosférou)? Zajímejte se hlavně o proudová letadla. Které parametry by působily pozitivněji a které negativněji než na Zemi?

Určete velikost třecí síly mezi pístem a stěnou injekční stříkačky, která vám přišla poštou.

Budeme modelovat kmity v molekule oxidu uhličitého. Jedná se o lineární molekulu s jedním atomem uhlíku mezi dvěma atomy kyslíku, ležícími společně na jedné přímce. Uvažujme pouze kmity podél této přímky. Předpokládejme, že pro malé výchylky lze molekulu modelovat jako spojení uhlíkového atomu s každým z kyslíkových pomocí pružin o tuhosti $k$. Atom uhlíku má hmotnost $M$, hmotnost kyslíkového atomu je $m$.

Sestavte rovnice určující síly, které působí na atomy při malých výchylkách podél osy uvažované molekuly. Ta je symetrická vůči záměně některých atomů. Vyjádřete tuto symetrii pomocí matice působící na vámi definovaný vektor výchylek. Dále určete vlastní vektory a vlastní čísla této matice. Takováto symetrie však není kompletní – vysvětlete, které stupně volnosti nezahrnuje.

Dále sestrojte maticovou rovnici popisující kmity systému. Dosazením vlastních vektorů z matice symetrie, které rozšíříte o symetrií neomezené stupně volnosti, určete normální mody systému. Dále spočítejte jejich úhlovou rychlost/frekvenci a načrtněte směry oscilací. Jaké další mody (stále pouze ve směru osy molekuly) by systém mohl obsahovat? Určete frekvenci a směr pro každý mod, jejž se vám podaří nalézt.