Zadání 5. série 7. ročníku

Položíte-li na nakloněnou rovinu dvě láhve, jednu prázdnou a jednu plnou, která z nich se bude kutálet rychleji (jsou to téměř válcové nádoby, osa symetrie kolmo na spádnici)? Pohyb na nakloněné rovině uvažujte bez tření a podkluzování. Přechází-li rovina v hrubší vodorovnou plochu, která z nádob po ní dojede dál? A uvedeme-li je na úpatí nakloněné roviny prudce do pohybu směrem vzhůru, která vyjede výše?

Možná ještě někde doma (nejspíše na půdě) najdete starou petrolejovou lampu se skleněným cylindrem. Pokud se budete muset delší dobu obejít bez elektrického proudu, přijde docela vhod. Potom si možná všimnete zajímavého jevu: uzavřete-li horní ústí cylindru (raději něčím jiným než rukou), plamen se nesníží, ale proti očekávání vzroste a změní se jeho odstín. Jak tento efekt vysvětlíte?

Část parket v obývacím pokoji je tak naleštěna, že po ní předměty kloužou se zanedbatelným třením. Pokoušíme se zde svisle postavit dvoumetrovou dřevěnou tyč, ale když už se nám to skoro podaří, dolní konec podklouzne a tíhová síla uvede tyč do pohybu. Padá volně tak, že její dolní konec klouže po podlaze. Jak musela minimálně být vzdálen deska stolu ve výšce 1 m, aby do ní tyč neuhodila (hrana stolu je kolmo na rovinu pádu tyče)?

Kdyby stůl stál naopak na druhé straně, jak by musel být daleko, aby tyč pod něj právě zajela (příčka mezi nohami stolu je ve výšce 0,5 m – viz obr. 1). Problém, zvláště jeho druhou část, je možné (a snadnější) řešit graficky, ať už s použitím počítače, nebo bez něj.

Inspirací k této úloze byla jízda metrem, ale pokud je vám tento dopravní prostředek poněkud vzdálen, lze si tutéž situaci představit při noční chůzi dlouhým proskleným osvětleným koridorem, kdy okna tvoří boční stěny. Na jednom okně je ve výšce očí vylepen plakát široký 40 cm. Za optimálních podmínek, kdy venku je naprostá tma a okna jsou dokonale vyleštěná, uvidíte tento plakát i v několikanásobném odrazu od okeních tabulí.

Plakát se nachází na stěně protější k té, u které stojíte; jeho bližší okraj je od vás vzdálen 4 m měřeno ve směru chodby. Kolikrát uvidíte (v ideálním případě) na protější tabuli pětipalcový nadpis plakátu (jdoucí od okraje k okraji), aniž by se jeho písmena překrývala? Jak musíte mít dobrý zrak (ve srovnání se čtením novin v půlmetrové vzdálenosti), aby jste všechny tyto odrazy přečetli? A jak se situace změní, postavíte-li se doprostřed? Šířka chodby je 3 m.

S nevelkou přesností pozorování (za Ptolemaia byla asi 0,5°) určil už Hipparchos vzdálenost Slunce a Měsíce, a to překvapivě dobře (59 zemských poloměrů, 134 600 000 km). Zkuste nalézt postup, jak to provedl, a odhadněte, jaká je asi chyba výsledku získaného s tehdejšími prostředky.

V šestnáctém století, stále ještě bez jakékoli optiky, se pozorovací metody značně zdokonalily (Tycho Brahe měřil s přesností na 2' ). Vymyslete, jak mohl středověký astronom určit poměry poloos drah planet vůči vzdálenosti Země od Slunce a jejich oběžné doby.

Na sféře stálic, mimo okruhy planet, se však stále jevilo nebe neměnné. Jak přesně by musel pozorovatel měřit polohy hvězd, aby zjistil jejich posuny vůči sobě, ať už skutečné nebo zdánlivé?

• Nechť v bodě P dojde k jaderné explozi, při které vznikne mimo jiné množství nestabilních částic, jejichž maximální doba života je 10^{−6} s. Zakreslete do prostoročasového diagramu (jednou osou bude čas a druhou vzdálenost od bodu P) oblast světobodů, kde může dojít k registraci této částice. Jaká křivka ohraničuje tuto oblast?

• Tato úloha je zase více matematická. Ukázalo se, že délky pohybujících se tyčí jsou v diagramech zakresleny v jiném měřítku, než jaké odpovídá osám klidové soustavy (a v jakém jsme zvyklí měřit). Geometrie je zde tedy poněkud jiná než v běžné Eukleidovské rovině. Budeme v prostoročasové rovině považovat za pravý úhel mezi dvěma úsečkami rovnoběžnými s osami téže vztažné soustavy. Zkuste najít vztah pro převod úhlů mezi osami dvou různých vztažných soustav, tak jak je měříme běžným způsobem v klidové soustavě (kde určují rychlosti) a jak by to plynulo z goniometrických fcí pro poměr stran pravoúhlého trojúhleníka (podle uvedené definice pravého úhlu).