Zadání 6. série 7. ročníku

V Arktidě se potkali dva polárníci, vybaveni různými druhy kombinéz. Při bližším seznamování se ukázalo, že teplota na povrchu kombinézy prvního polárníka je vyšší než u jeho kolegy. Která z kombinéz je teplejší, tj. má lepší izolační vlastnosti?

V uzavřeném skleněném zvonu je hladina rtuti a na ní plave ocelová kulička. Rozhodněte, jak se kulička pohne, pokud vyčerpáme ze zvonu vzduch.

Bicykl je neobvyklý tím, že jeho přední kolo je menší než zadní. Diskutujte, zda závisí výkon, který můžeme získat z alternátoru, na umístění na předním či zadním kole, případně na konkrétní poloze.

O kámen, vystupující do výšky $h$ nad hladinu vody, se jedním koncem opírá tenká deska délky $l$, která je částečně ponořena do vody. (viz obr. 3) Při jakém minimálním koeficientu tření mezi deskou a kamenem bude deska v rovnováze? Hustota dřeva je $ρ$, hustota vody $ρ_{0}$.

Z Prahy vyjíždí v 7 hodin 30 minut rychlostí 95 km/h po dálnici do Brna černý, pečlivě umytý automobil Tatra 613, ve kterém sedí na zadním sedadle za řidičem bílý pták, velký jako pštros, ale s dlouhým a silným žlutým zobákem. Přibližně každých pět minut pták klovne řidiče do hlavy. Ten si toho sice většinou nevšímá, ale čas od času se rozzuří, popadne složené noviny, které leží na prázdném předním sedadle, zakloní se, levou rukou drží volant a pravou tluče novinami ptáka přes hlavu a křičí: „Nech už toho, ty kreténe! Ty máš opravdu ptačí mozek!“ Pták se krčí na zadním sedadle a ustrašeně vřeští, ale za pět minut klovne řidiče znovu.

Téhož dne v 8 hodin 15 minut vyjíždí z Brna do Prahy rychlostí 70 kilometrů za hodinu kamión s tureckou poznávací značkou. Neveze žádné zboží, v jeho vnitřku se nachází pouze pětačtyřicetiletý docent estetiky B. Je na zadním konci kamiónu připoutaný ke klice dveří a dívá se na divný film, promítaný na plátně, jež je umístěné na druhém konci vozu. Vidí ve filmu sám sebe, jak leží v noci ve své vile s manželkou v posteli a spí; manželka tiše vstává z postele a sestupuje do zahrady, kde na ni vzadu u plotu čekají fantastické nestvůry, jsou to tlusté žáby, velké jako pes, porostlé dlouhou vlnitou srstí, s losími parohy na hlavě a s velkými chlupatými křídly. Na špičkách paroží svítí Eliášův oheň. Žáby obletují ženu, která tu tiše stojí v bílé noční košili, dlouhé chlupy na křídlech jim přitom krásně vlají, olizují ženě jazykem tvář a kňučí radostí jako psi. Žena je něžně hladí po hlavě a tiskne je k sobě, pak se temnou zahradou rychle vrací do vily a uléhá opět do postele. Letos je tomu 20 let, co se docent B. se svou manželkou vzali.

Z Prahy do Brna je to po dálnici 202 km. V kolik hodin a na kolikátém kilometru se oba automobily minou?

Michal Ajvaz: Návrat starého varana, MF, Praha 1991, str. 50–51.

• Ze znalosti vztahů $\cosh^{2} a–\sinh^{2}a=1$ a tgh $a=\sinh a / \cosh a$ odvoďte vzorce použité v závěru výkladu mezi hyperbolickým cosinem resp. sinem a tangentou.

• Pokuste se v případě nějakého vhodného geometrického objektu dokázat, že se jeho plocha zachovává i po Lorentzovské transformaci souřadnic.