Zadání 5. série 11. ročníku

Na obrázku obr. 1 vidíte dva spojené písty o ploše $S_{1}$ a $S_{2}$ a celkové hmotnosti $m$ zasunuté do pouzdra, které je na obou stranách otevřené. Celé zařízení je v rovnováze a je umístěno v tíhovém poli $g$. Vně pístů je atmosférický tlak $p_{a}$, uvnitř je $1\,\jd{kmol}$ ideálního plynu o tlaku $p$. O kolik stupňů Celsia musíme plyn mezi písty ohřát, aby se písty posunuly o $x$ směrem vzhůru?

Řešitel FYKOSu měřil hloubku hradní studny. Vzal si na pomoc stopky a kámen. Kámen vhodil do studny a současně spustil stopky. Zastavil je poté, co uslyšel náraz kamenu na dno. Stopky ukázaly údaj $4,77\,\jd{s}$. Jelikož si náš přítel pamatoval velikost tíhového zrychlení a rychlost zvuku, ihned na místě spočítal hloubku (vyschlé) studny. Dokážete to také? Určete zároveň chybu popsaného měření.

Spočítejte kapacitu krychle, jejíž hrany jsou tvořeny kondenzátory o kapacitě $C$. Uvažujte všechna tři možná zapojení krychle do obvodu.

Novopečený majitel zoologické zahrady by měl rád v pavilonu opic následující atrakci. Na jednom ze dvou prkýnek spojených pantem je ve vzdálenosti $l$ od pantu připevněn miniaturní košíček a na konci prkýnka (ve vzdálenosti $L$ od pantu) je položen míček. Prkýnko je podepřeno banánem, a svírá se zemí úhel $θ$. K této „aparatuře“ přijde hloupá opice (zatím nebyl čas ji vycvičit), a vezme si banán.

Vyvrcholením atrakce by mělo být to, že odbrzděné prkénko se dá do pohybu a míček by měl sám spadnout do košíčku. Diskutujte, zda-li je to vůbec možné a pokud ano, spočtěte jaké musí být $l$ v závislosti na $L$ a úhlu $θ$.

Rozhodněte jak těžkou krychli lze převrátit střelbou ze samopalu (či spíše menšího děla) o parametrech 50 střel za sekundu, rychlost střely $500\, \jd{m. s^{-1}}$, hmotnost střely $100\,\jd{ g}$. Krychle má hranu dlouhou $1\,\jd{m}$, po podložce neklouže.

Změřte mez pevnosti nitě v tahu. S řešením nám pošlete $1\,\jd{ m}$ dlouhý vzorek vaší nitě.

• Pion $π^{0}$, který byl v laboratorní soustavě v klidu se rozpadnul na dva fotony:

$$π^{0} → γ + γ.$$

Vypočítejte jejich energie.

• Uvažujme rozpad pionu $π^{+}$, který byl v laboratorní soustavě také v klidu, na antimion a mionové neutrino:

$$π^{+ } → μ^{+} + ν_{μ}.$$

Zjistěte energii tohoto neutrina za předpokladu, že jeho klidová hmotnost je nulová. Při výpočtu je výhodné použít zákona zachování energie a hybnosti a rovnici $E^{2}−p^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$.

• Pokud mají dva elektrony dostatečně velkou energii, může se při jejich srážce zrodit elektron-pozitronový pár:

$$e^{−} + e^{−} → e^{−} + e^{−} + e^{−} + e^{+}.$$

Určete, jakou minimální energii a rychlost musí mít první elektron v laboratorní soustavě, pokud je druhý elektron v téže soustavě v klidu.

Uvažte, že v mezním případě se při pohledu z těžišťové soustavy srazí dva elektrony s opačnými hybnostmi a všechny čtyři výsledné částice pak zůstanou prakticky stát.