Zadání 6. série 24. ročníku

• zprohýbané prkno

Prkno dané délky leží vodorovně. Z jednoho konce po něm pošleme kuličku. Za jakých podmínek bude na druhém konci prkna nejdříve?

a) Prkno bude prohnuté nahoru.

b) Prkno bude prohnuté dolu.

c) Prkno bude rovně.

d) Při libovolném prohnutí bude doba stejná.

Svoji volbu řádně odůvodněte.

• zlomené prkno

Prohlubeň šířky $L$ přemostíme prohnutým prknem. To se skládá ze dvou stejně dlouhých rovných částí, které jsou uprostřed spojeny zlomem. Na jeden konec položíme kuličku. Pro jakou hloubku prohnutí $h$ bude kulička na druhém konci nejdříve? Zlom je tak hladký, že na něm kulička neztrácí energii. Mohlo by se vám hodit, že funkce $f(x) = x + 1/x$ má minimum v bodě $ x = 1.$

Máme dlouhou štěrbinu a vedle ní bodovou dírku. Jak bude vypadat interferenční obrazec na rovinném stínítku, posvítíme-li skrz ně koherentním světlem? Zanedbejte difrakci na samotné štěrbině a samotné dírce.

Jak dlouhý čas uběhne v letadle mezi západem a východem slunce, letí-li v rovině ekliptiky? A jak to bude vypadat s délkou dne a noci? Potřebné údaje jako běžnou letovou hladinu si zjistěte na internetu. Rozeberte oba případy, kdy letadlo letí na západ i na východ.

Jak by se změnil výkon slunečního záření dopadajícího na Zemi v odsluní, když by byla jednorázově vychýlena zemská dráha (změnou její okamžité rychlosti ve směru její dráhy) tak, aby byl pozemský rok o týden delší? Odhadněte teplotu Země v přísluní a odsluní, pokud by Země měla téměř nulovou tepelnou kapacitu. Stačí uvažovat, že původní dráha Země byla kruhová a přešla na eliptickou.

V létě bylo zakázáno vynášet z bazénů vodu v bermudách. Kolik ale může člověk vynést vody ve vlasech? Předpokládejme, že vlasů je větší počet (z bazénu nevynáší vodu děd Vševěd).

Vymyslete co nejvíce způsobů, jak ověřit předpoklad o kulatosti Země. Pokud zjistíte, že je Země opravdu kulatá, dokázali byste určit i její poloměr?

• Předpokládejme, že máme radioaktivní látku $X$, která se rozpadá na látku $Y$ s poločasem rozpadu $T_{1}$, ta se následně rozpadá na stabilní látku $Z$ s poločasem rozpadu $T_{2}$. Jak závisí koncentrace látky $Y$ na čase, pokud jsme na počátku měli pouze látku $X?$
• Vypočtěte, jak vypadá difrakční obrazec vzniklý průchodem světla o vlnové délce λ štěrbinou šířky $d$.
• Pokuste se najít frekvence ω, pro které existuje řešení vlnové rovnice na čtverci o hraně $a$. Kolik různých funkcí odpovídá jedné úhlové frekvenci?

Nápověda: Pro prostorovou část předpokládejte řešení ve tvaru $A(x,y) = X(x) Y(y)$.