Zadání 1. série 1. ročníku

Mějme tři bazény. V každém z nich plave kus ledu tak, jak ukazují obrázky. Hladina vody sahá vždy přesně po okraj bazénu. Led v bazénu na obr. 1 obsahuje vzduchovou bublinu. V bazénu 2 plave led s dutinou vyplněnou nezmrzlou vodou. Led v bazénu 3 obsahuje kousek železa. Určete, ve kterých bazénech voda po roztání ledu:

• přeteče
• poklesne
• zůstane těsně po okraj

Uvažujme nádobu s otvorem dle obrázku. Uniká-li stlačený vzduch z nádoby ven, nádoba se pohybuje. Jde o princip analogický raketovým motorům. Představme si nyní opačnou situaci. Nádobu, v níž bylo vakuum, umístěnou ve vzduchu, který do nádoby proudí malým otvorem. Nádoba se bude pohybovat:

• doleva
• doprava
• nebude se pohybovat

Předpokládejte, že vlastníte výborný koncertní klavír. Chcete ho nechat naladit. Pozvete nejlepšího ladiče pian. Ten ladí klavír tak, že porovnává zvuk klavíru a etalonu (ladičky). Jak dlouho mu bude trvat perfektní naladění klavíru?

• zhruba hodinu
• zhruba den
• zhruba týden
• zhruba měsíc
• nekonečně dlouho

Po přímé trati jede houkající lokomotiva rychlostí $v$. Klidová frekvence píšťaly lokomotivy je $f$. Ve vzdálenosti $l$ od trati stojí pozorovatel.

• Určete závislost slyšené frekvence $f$ na čase (předpokládejte, že v $t = 0$ je lokomotiva nejblíže k pozorovateli).
• Specielně vyšetřete závislost $f(t)$ na $l$ (vzdálenost pozorovatele).

Poznámka: Předpokládejte, že okolní vzduch je v klidu.

V nádobě uzavřené pohyblivým pístem je ideální plyn. Píst stlačíme z jeho rovnovážné polohy o malou vzdálenost $x$ ($x$ je mnohem menší než výška nádoby $h)$ a pak jej pustíme. Následný děj považujeme za izotermický.

• Ukažte, že píst bude vykonávat harmonické kmity kolem rovnovážné polohy a najděte jejich frekvenci. (Návod: Uvažte síly působící na píst a jejich analogii se silami působícími na hmotný bod zavěšený na pružině.)
• Diskutujte oprávněnost předpokladu o izotermičnosti uvažovaného děje.

Pohybuje-li se těleso v kapalném nebo plynném prostředí, působí na něj prostředí odporující silou, závislou na rychlosti tělesa. Navrhněte nějakou jednoduchou metodu (realizovatelnou doma, ve škole atp.), kterou by bylo možno alespoň přibližně určit závislost rychlosti tělesa pohybujícího se ve vzduchu. Navržené experimenty proveďte a zhodnoťte výsledky.

Návod: Předpokládejte závislost tvaru $F = av^{b}$.

Představme si, že v přístavu vyšel z hospody H kapitán Brown. Kapitán je zcela opitý, a tak kráčí náhodně (krok vpřed i vzad jsou stejně pravděpodobné). Předpokládejme, že kráčí podél mola v přímkové dráze. Snaží se dojít ke své lodi, která kotví $k$ kroků od výchozího bodu H.

Nalezněte pravděpodobnost, že po $n$ krocích kapitán dojde ke své lodi. Úlohu se pokuste řešit analyticky, tj. přímo nalezněte hledanou pravděpodobnost $p=p(n,k)$. Úlohu se také pokuste modelovat. Pomocí vhodného generátoru náhodných čísel. (Zkuste třeba házet mincí, eventuelně použít mikropočítač atp.) nechte mnohokrát vyjít námořníka z počátečního bodu a sledujte v kolika pokusech dojde ke své lodi. (Zkuste číselně pro $n=20$, $k=8$).

Rozřešení předchozí úlohy použijte k zodpovězení této otázky: kapitán udělá $n$ kroků; jaká je střední hodnota druhé mocniny jeho vzdálenosti od bodu H?

Návod: Požadované střední hodnoty jsou definovány takto. $$\langle r\rangle=\sum_{k}p(n,k)\cdot k \langle r^2\rangle=\sum_{k}p(n,k)\cdot k^2$$ Potřebné pravděpodobnosti $p(n,k)$ můžete odhadnout z vašich modelových pokusů, i když je neznáte analyticky.

Dovedli byste zdůvodnit analogii mezi kráčením kapitána Browna s pohybem pylových zrnek v kapalině? Je z hlediska vámi spočtených středních hodnot $\langle r\rangle$, $\langle r^2\rangle$ podstatné, že kapitán Brown kráčí v přímce, kdežto pylová zrnka se pohybují v rovině?