Zadání 4. série 16. ročníku

• Hustota mezihvězdného prostředí je asi 10 až 10000 částic na metr krychlový. Tvoří ho převážně vodík. Vzdálenost mezi částicemi je tak velká, že se toto prostředí chová jako ideální plyn. Na vás je rozmyslet, zda se v takovém „vakuu“ může šířit zvuk a pokud ano, jaká může být jeho frekvence?

• Jaká je maximální frekvence zvuku, který se může šířit ve vzduchu za normálních podmínek?

Ve sluneční soustavě se planety, které jsou ke Slunci blíže, pohybují rychleji než planety vzdálenější. V Galaxii se hvězdy blíže středu pohybují pomaleji než hvězdy vzdálenější. Zdůvodněte tento zdánlivý rozpor.

Představme si ve vesmíru rotující planetu pokrytou po celém povrchu hlubokým oceánem. Na planetě v určitém místě přistane kosmický mnohoživelník, který volně plove na hladině a není vybaven pohonem použitelným ve vodě. Jakým směrem se začne z klidu pohybovat?

Zjistěte poměr velikostí nábojů dvou částic. Ekvipotenciály jejich elektrického pole vidíte na obr. Zkuste také odhadnout přesnost vaší metody.

Na vstup (IN) obvodu na obr. 1 přivedeme vůči zemi (G) harmonické střídavé napětí o amplitudě $U$ a frekvenci $f$. Jaké napětí naměříme na výstupu (OUT)? Diody považujte za ideální, velikosti kapacit si zvolte nebo řešte úlohu obecně. Nevíte-li si rady, zkuste nejprve jednodušší případ – zapojení pouze se dvěma diodami a kondenzátory (viz obr. 2).

Výzkumný ústav medvídka Pú při AV ČR vypsal grant ve výši osmi (výjimečně více) bodů na změření závislosti viskozity medu na teplotě. Nezapomeňte uvést druh medu, který používáte.

• Organizátor FYKOSu vypil velmi rychle láhev tvrdého alkoholu. Alkohol se z žaludku vstřebává do krve rychlostí úměrnou jeho množství (v žaludku) s konstantou úměrnosti $\alpha$ a z krve je odbouráván játry podle stejného vztahu, tentokrát však s konstantou úměrnosti $\beta$. Sestavte diferenciální rovnici popisující tyto děje, určete závislost množství alkoholu v krvi na čase, určete čas, ve kterém je koncentrace maximální a vypočítejte ji.

• Šnek plazící se rychlostí $1\,\jd{mm.s^{-1}}$ se v čase $t_{0}$ postaví na začátek gumového lana dlouhého $1\, \jd{m}$ a začne se plazit. Ve stejném okamžiku se lano začne napínat rychlostí $1 \,\jd{m.s^{-1}}$ (je nekonečně pružné takže nikdy nepraskne). Rozhodněte, zda šnek dosáhne konce lana v konečném čase a pokud ano, spočítejte, za jak dlouho se tak stane.

• Takzvaná redukovaná Gaussova rovnice má tvar

$$xy''+(\gamma -x)y'-\alpha y = 0$$ Předpokládejte řešení ve tvaru Taylorova polynomu, určete vztah pro jeho koeficienty a vyšetřete asymptotické chování řešení (tj. určete jakou funkcí by se dalo vystihnout jeho chování pro velká $x$). Určete pro jaké hodnoty koeficientů $\gamma$ a $\alpha$ je konečný tento integrál $$\int ^{\infty} e^{x/2}F(\alpha, \gamma, x) \d x\,$$ kde $F(\alpha, \gamma, x)$ značí řešení Gaussovy rovnice (takzvaná redukovaná hypergeometrická funkce).

Poznámka: Pokud označíme $E=-\frac{1}{\alpha^{2}}$, dostaneme z poslední rovnice pro $E$ zajímavou podmínku. A pokud se vám při pohledu na ni začíná vybavovat vzorec pro možné hodnoty energie elektronu v atomu vodíku, pak vězte, že podobnost s vaším výsledkem není vůbec náhodná.