Zadání 5. série 10. ročníku

Po nakloněné rovině se sklonem $β$ se z klidové pozice valí válec, na kterém je předkreslen závit. Válec se stále zrychluje a postupně se nám jednotlivé závity „rozmažou“, až není poznat, že tam jednotlivé závity byly. Měříme čas od puštění válce do chvíle, kdy nerozeznáme jednotlivé závity. Jak tento čas závisí na úhlu $β?$ Předpokládejte, že oko má snímkovací frekvenci $f$, válec má průměr $R$, stoupání závitů je $s$.

Jistý duševně chorý faraon si před mnoha tisíci lety nechal vytesat mnoha tisíci otroků z jednoho kusu mohutné skály pyramidu. Starověcí zloději o dvě dynastie později chtěli pyramidu vyloupit, leč nenašli vchod, a tak se rozhodli, že se pokusí pyramidu převrhnout. Do její špičky zaklesli pevný kruh, jímž provlékli ještě pevnější lano. Za lano pak zapřáhli organizovanou skupinu otroků táhnoucích směrem od pyramidy kolmo ke dvěma hranám podstavy (obr. 1). Podaří se otrokům pyramidu převrhnout, když jich bude dostatečně mnoho, nebo ji po písku jen kus popotáhnou? Okolní písek je dokonale udusán minulými generacemi vykradačů hrobek, kteří už celá staletí obhlíželi, kudy pyramidu vykrást, takže se pyramida do písku nebude bořit. Hmotnost pyramidy je $M$, koeficient statického smykového tření je $μ$. Pyramidu považujte za jehlan (pohřební dutina je velmi malá, protože vládce je celý seschlý).

Mějme dva duté válce vnějších poloměrů $R_{1}$, $R_{2}$ a vnitřních poloměrů $r_{1}$, $r_{2}$ ($r_{2}<R_{2}<r_{1}<R_{1})$. Válce jsou vloženy do sebe (obr. 2) a navzájem se po sobě valí, ale nekloužou. Vnější válec se začne valit po nakloněné rovině s úhlem $α$. Jakého zrychlení celá soustava dosáhne? Nad rámec zadání se můžete pokusit popsat pohyb jednotlivých válců. Hmotnosti válců jsou $M_{1}$, $M_{2}$ a materiál válce můžeme považovat za homogenní. Změní se řešení výrazně pro tři válce?

Rychlé šípy si postavily šlapohyb neboli obojživelný vůz, s nímž podnikly závod přes řeku s Bratrstvem kočičí pracky. Bratrstvo prohrálo a málem se utopilo. „Vy budete mokrý taky, koukněte se na ty mraky!“ procedil Dlouhé Bidlo po nedobrovolné koupeli, načež následující den vyvrtal do dna šlapohybu Rychlých šípů nebozezem díru průřezu $S$. Jak vysokým vodotryskem se na příštích závodech mohly kochat davy příznivců sportu, když Rychlé šípy včetně Rychlonožky usedly do lodi?

Veliký šéf semináře radostně přeskakuje fluktuace hmoty ve svém pokoji B609. Právě dopadl plnou vahou z výše $H=1\;\mathrm{m}$ nad zemí volným pádem na hrábě. Násada je dlouhá $l=2,0\;\mathrm{m}$ a váží $m_{2}=1\;\mathrm{kg}$, část ocelového hrabla kolmá k násadě je dlouhá $z=7\;\mathrm{cm}$ a váží $m_{1}=2,5\;\mathrm{kg}$ (považujte jej za homogenní). Jakou rychlost má konec násady hrabí v okamžiku, kdy se opovážlivě dotkne nosu našeho nejvyššího? Srážku považujte za nepružnou. Šéfův nos se nachází $180\, \jd{cm}$ nad podlahou, šéfova hmotnost činí $92\, \jd{kg}$ včetně klíčů v pravé kapse.

Teď už nebude sněžit, a proto můžete pozorovat déšť. Pokuste se změřit objem jedné dešťové kapky. Nezapomeňte si zapsat, kdy to vlastně pršelo a jestli déšť přišel ze západu nebo z východu (porovnávejte kvalitu východních a západních dešťů). Např. při pádu padákem lze měřit šuplerou všechny rozměry kapky, ocejchujeme-li si dalekohled, můžeme v něm odhadovat velikost kapek...

• Zkuste jednoduše zdůvodnit, proč je gravitační síla působící na těleso o hmotnosti $m$ ve vzdálenosti $r$ od středu izotropní koule o poloměru $R>r$ daná pouze hmotou $M(r)$ obsaženou v kouli o poloměru $r$ a proč je rovna $F_{g}=κmM(r)/r^{2}$, tj. jakoby byla celá hmota $M(r)$ soustředěna v centru.

• Existuje jistá skupina tzv. polytropních modelů hvězd, které jsme již schopni počítat. V těchto modelech se předpokládá závislost tlaku $p$ na hustotě $ρ$ ve tvaru $p=Cρ^{γ}$

(tzv. rovnice polytropy). Speciálním případem polytropy je adiabata (pro $γ=4/3)$, izoterma (pro $γ=1)$ a izobara (pro $γ=0)$. Pro funkce $p(r)$ a $ρ(r)$ tak máme, spolu s rovnicí hydrostatické rovnováhy, rovnice dvě a můžeme z našich úvah vyloučit teplotu. Odhadněte, stejným způsobem jako v seriálu, vztah mezi hmotností hvězdy $M$ a jejím poloměrem $R$. Určete, pro které hodnoty parametru polytropy $γ$ je hvězda stabilní.