Brožurka s řešeními Ročenka 8. ročníku

1... částice v magnetickém poli

bodů

Nabitá částice vstupuje do prostředí, ve kterém na ni působí odporová síla. Směr této síly je opačný, než směr rychlosti částice, a její velikost je rychlosti přímo úměrná. Než se částice zastaví, urazí v prostředí dráhu $l_{1}=10\;\mathrm{cm}$. Je-li v prostředí navíc homogenní magnetické pole kolmé na směr rychlosti částice, pak se částice zastaví ve vzdálenosti $l_{2}=6\;\mathrm{cm}$ od místa, kde do prostředí vstoupila. V jaké vzdálenosti $l_{3}$ od místa vstupu do prostředí se částice zastaví, když bude magnetické pole dvakrát menší?

Řešení této úlohy momentálně není dostupné.

2... jak asi táhne komín

bodů

Vertikální roura výšky $h=1\;\mathrm{m}$ s plochou podstavy $S=50\;\mathrm{cm}^{2}$ je z obou stran otevřená. V dolní části roury se nachází ohřívač o výkonu $N=100\; \textrm{W}$. Jaká bude rychlost proudění vzduchu v troubě? Lze předpokládat, že veškerý tepelný výkon ohřívače se spotřebuje na ohřátí vzduchu. Atmosférický tlak je $p_{0}=100\; \textrm{kPa}$, teplota okolního vzduchu $t=20\;\mathrm{°C}$. Molární tepelná kapacita vzduchu při konstantním objemu je $C_{V}=2,5\; \textrm{R}$, kde $R$ je plynová konstanta.

Řešení této úlohy momentálně není dostupné.

3... smyčky a smyčata

bodů

V magnetickém poli jsme v rovině kolmé na jeho směr umístili smyčky následujících tvarů (viz obrázek) zhotovené z tenkého odporového drátu. Intenzita pole začne klesat konstantní rychlostí. Jaké proudy potečou v jednotlivých částech smyček?

Řešení této úlohy momentálně není dostupné.

4... válec kontra zeď

bodů

Dřevěný válec o poloměru $R$ a hmotnosti $m$ se valil po podlaze rychlostí $v$ do okamžiku, kdy se zarazil o zeď. O jaký úhel se ještě válec pootočí, než se úplně zastaví? Koeficient tření mezi válcem a stěnou resp. podlahou je $μ$.

Řešení této úlohy momentálně není dostupné.

P... sférická vada čočky

bodů

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Spojná čočka má mít tu vlastnost, že svazek paprsků jdoucích z nekonečna rovnoběžně s osou, se zobrazí do jednoho ohniska. Tak je tomu však jen v ideálním případě paprsků jdoucích blízko osy. Uvažujte reálnou čočku s jedním povrchem rovinným a jedním kulovým o poloměru $R$, její průměr jest $D$. V jakém bodě se protnou paprsky dopadající rovnoběžně s osou právě ve vzdálenosti $x$ od osy? Jak velká je oblast těchto bodů na ose? Řešte pro světlo dopadající ze zakulacené strany, případně i pro opačné nasměrování čočky.

Řešení této úlohy momentálně není dostupné.

S... tečná metoda

bodů

Vezměte poslední popisovanou metodu tečen neboli Newtonovu, která určuje následující bod podle vzorce $c=b−\frac{\textrm{funkce}(b)}{\textrm{derivace}(b)}$ – pro ty neznalé derivování uvádíme pro náš případ

$$\textrm{derivace}(t)=−gt+v−\frac{2pA}{T}\sin\left(\frac{2pt}{T}\right)$$

Řešte touto metodou zadanou úlohu a ověřte rychlost konvergence jak pro přesný odhad počátečního intervalu $(0,88;\; 1,02)$, tak pro hrubý odhad $(0;\; 10)$.

Zjistěte, jak závisí přesnost dosaženého výsledku na počtu kroků u všech popsaných metod (bisekce, regula falsi, metoda sečen a tečen), tedy ověřte, zda je zpřesňování lineární, kvadratické, či jiné. Je tato vlastnost ovlivněna volbou počátečního intervalu?

Řešení této úlohy momentálně není dostupné.