Zadání 3. série 23. ročníku

Jak nejdále od sebe mohou být dva lidé, aby je nikdo třetí na Zemi nerozeznal, kdykoliv jsou viditelní? Nezapomeňte, že lidé jsou bodové světelné zdroje ve výšce 2 m a Země je koule.

Uvažujte dvoukřídlé dveře do budovy, mezi nimiž je i v zavřené poloze mezírka, kterou může proudit vzduch. Každé křídlo má pružinu, která ho vrací do výchozí zavřené polohy. Jedno křídlo vychýlíme a pustíme z klidu. Co se bude dít, třeba s druhým křídlem?

Pokud si nejste úplně jisti, nejdřív si to vyzkoušejte (Ke Karlovu 5, Právnická fakulta, Praha, ...).

Jak roste hlasitost (definujte si sami) sboru s počtem jeho členů? Co z toho plyne? Členy sboru uvažujte jako bodové zdroje zvuku stejné amplitudy a frekvence, ale posunuté o náhodnou fázi. Všichni bodoví zpěváci se nacházejí v jednom místě.

Pana Broučka při měsíční příhodě pronásledovala Etherea, kterou lze připodobnit hmotnému bodu. Pan Brouček ale, potom co si objednal vepřové se zelím, se jí zbavil tím, že ji uvěznil mezi dvěma pevně uchopenými pálkami ve vzdálenosti $l$, které jsou každá natočena o nějaký úhel, a Etherea mezi nimi skákala jako pingpongový míč tak, že se odrazila vždy ve stejné výšce. Aby ji potrápil strachem, vložil doprostřed síť výšky $h$. Pan Brouček je důmyslný šibal, a tak chtěl, aby (stejně jako v ping-pongu) na každé polovině spadla aspoň jednou na zem. Vypočtěte, s jakou frekvencí v závislosti na všemožných parametrech (natočení pálek, počáteční rychlost míčku, úhel, ...) Etherea létá, a kdy je tato frekvence nejvyšší. Předpokládejte, že pohyb je rovinný a při odrazu od překážky (od Měsíce nebo od pálky) se akorát mění rychlost na opačnou; celý pohyb probíhá ve vakuu.

Zkoumejte dvojitý uzel, kterým jsou spojena dvě vlákna o poloměru $r$ a součiniteli klidového tření $f$. Jakou silou musíme tahat za konce vláken, aby se uzel „proklouzl“? Dosaďte typické hodnoty pro nitky a zjistěte, zda se přitom nepřetrhne vlákno.

Postavte dlouhé domino a hurá do toho! Změřte rychlost padání pro známé rozměry kvádříků a proměnnou vzdálenost mezi nimi. Ustálí se vůbec rychlost?

• V textu seriálu jsme pracovali s diskrétním rozložením bodových zdrojů na přímce a jejich zobrazením na přímku. Nyní si představte, že máte zdroje světla rozložené na rovině a stínítko je rovina na ni rovnoběžná. Popište rozložení intenzity na stínítku v případě, že zdroje světla:

• Leží na jedné přímce s pravidelným intervalem $d$.

• Jsou rovnoběžné přímky, kde vzdálenost mezi sousedními přímkami je $d$.

• Leží ve vrcholech obdélníkové sítě, kde obdélníky mají strany $a$, $b$.

• Mějme následující situaci: Před stínítkem, reprezentovaném nějakou rovinou $xy$ je disk o poloměru $R$, rovnoběžně s rovinou. Ze strany disku na stínítko svítíme z nekonečna světlem, tzn. všechny paprsky jsou navzájem rovnoběžné

a kolmé na rovinu $xy$. Vysvětlete, proč situaci můžeme popsat pomocí bodových zdrojů světla spojitě rozložených všude na rovině ve které leží disk kromě disku samotného, najděte závislost intenzity světla na rovině $xy$ jako funkci $x$ a $y$ (není potřeba uzavřený tvar, stačí ve tvaru integrálu) a ukažte, že v bodě, který je na rovině $xy$ přímo naproti středu disku se děje něco, co bychom z hlediska geometrické optiky nečekali.