Zadání 4. série 24. ročníku

• napnutá struna

Frekvence kmitů napjaté struny závisí na její délce $l$, síle $F$, kterou je struna napjatá, a na délkové hustotě $ρ_{l}$. Určete z těchto údajů vzoreček pro frekvenci struny pomocí rozměrové analýzy.

• dolů

Mějme činku, jejíž závaží mají tvar disků, které jsou blízko u sebe. Tyčku omotáme jednou provázkem a činku spustíme, jak rychle padá, pokud se nesmýká? Disky mají hmotnost $m$ a poloměr $R$, tyčka je nehmotná s poloměrem $r$.

Karel se rozhodl zahodit svůj sešit matematické analýzy na Slunce. Poradíte mu, jakou minimální rychlost sešitu musí udělit, aby sešit na Slunce dopadl? Pro jednoduchost zanedbejte odporové síly, Zemi a Slunce považujte za hmotné body, sešit vypouštíme ze vzdálenosti $R_{Z}=6378\;\mathrm{km}$ od hmotného bodu symbolizujícího Zemi, vůči kterému je sešit v klidu a Země obíhá Slunce po dokonalé kružnici. Konstanty, které se vám budou hodit: $κ=6,67\cdot 10^{-11}\;\mathrm{N\cdot m\cdot kg}^{−2}$, $M_{S}=2,0\cdot 10^{30}\;\mathrm{kg}$, $M_{Z}=6,0\cdot 10^{24}\;\mathrm{kg}$, $a=1\;\mathrm{AU}=150\cdot 10^{9}\,\jd{m}$.

Navrhněte tvar přelévacích hodin, aby ubývala výška hladiny lineárně s časem. Za uvažování povrchových efektů, vnitřního tření apod. můžete dostat body navíc.

Terka J. mívá většinou skvělé nápady. Třeba minulé pondělí si od svého oblíbeného dermatologa přinesla 5 litrů kapalného dusíku a ihned ho vylila na zem ve své ubikaci. Ve středu pro změnu odcizila na čerpací pumpě 5 litrů benzínu, který záhy vylila do umyvadla a zapálila. Mohlo se Terce některý den udělat nedobře v důsledku jejich kratochvílí? Aneb jak se v obou případech změní teplota, tlak a koncentrace kyslíku v ubikaci, pokud tato je dokonale neprodyšná, tepelně izolovaná a rozměrů 3 × 3 × 4 m?

Chceme-li na monitoru počítače zobrazit azurovou barvu, musíme rozsvítit červený a modrý segment. Azurová barva odráží v nejjednodušším případě světlo dvou vlnových délek (modré a červené), dále pokud budeme mít modrou barvu, tak tato bude odrážet modré světlo a červená obdobně. Když smícháme modrou a červenou temperu, výsledná směs bude mít fialovou barvu, protože modrá složka pohltí vše až na modrou a obdobně také červená. Proto ze směsi těchto barev budeme pozorovat pouze ty vlnové délky, které odrážejí obě složky. Představte si, že tempery jsou složeny z malých kapiček. Jak bude záviset výsledný zrakový vjem na jejich velikosti?

Z jaké nejvyšší výšky můžete shodit obyčejné slepičí vajíčko na tvrdou podlahu, aniž by se nakřáplo? Co když vajíčko natěsno obalíme nějakým měkkým obalovým materiálem (tj. papír, bublinková folie apod.) s tloušťkou nejvýše 5 mm? Z kolikrát vyšší výšky ho pak můžeme pustit, aniž by se nějak viditelně poškodilo? Vyzkoušejte několik různých obalů.

• Dokažte tvrzení d), podle něhož Möbiova transformace zachovává úhly. Jedna z možností je uvědomit si, že v kruhové inverzi existují kružnice, které se zobrazují samy na sebe.
• Najděte podmínku na koeficienty Möbiovy transformace, aby zobrazovala komplexní kruh na komplexní kruh (|$z|$ = 1) a najděte konkrétní transformaci, která zobrazuje komplexní kruh na horní komplexní polorovinu. Co to fyzikálně znamená?
• Podle teorie relativity se tělesa pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla zkracují (Lorentzova kontrakce). To ovšem ještě neznamená, že bychom je viděli kratší (například, že bychom místo pohybující se koule viděli pohybující se elipsoid). Využijte představy, který jsme v tomto díle vybudovali, abyste odvodili, že předměty letící rychlostí světla vidíme o kousek pootočené, nikoliv zkrácené (Terellova rotace).