Zadání 5. série 15. ročníku

Mějme dvě rovinná zrcadla svírající úhel $\alpha$. Jak máme nasměrovat paprsek, aby se od nich co nejvíckrát odrazil?

Představte si cínovou varhaní píšťalu, která byla naladěna při teplotě trojného bodu vody na komorní A. Poté se kostel vytopí (ne vodou) na $25 ^{o}\,\jd{C}$, určete o kolik se píšťala rozladí.

Mějme žebřík opřený o stěnu a podlahu (vše bez tření). Spočtěte, v jaké poloze se žebřík oddělí od svislé stěny (pro obecnou počáteční polohu žebříku). Prémii dostanete, spočtete-li, jak daleko od stěny žebřík dopadne.

Spočtěte frekvenci malých radiálních kmitů gumového balónu. V balónu je $n$ molů plynu s Poissonovou konstantou $\kappa = 5/2$ o teplotě $T$. V případě, že rozdíl tlaků uvnitř a vně balónu, je nulový je poloměr balónu $r_{0}$. Plošná hustota gumy je v tomto případě $\rho_{0}$. Potenciální energie gumy je lineárně úměrná rozdílu jejího povrchu a povrchu klidového s konstantou úměrnosti $\sigma$. Tlak vně balónu je $p_{0}$. Hmotnost plynu je vůči hmotnosti balónu zanedbatelná.

Představte si drátěnou konstrukci ve tvaru hranice válcové plochy rozříznuté napůl rovinou, v níž leží osa rotační symetrie válce (viz obr. 1). Na tuto konstrukci napněme mýdlovou bublinu, která zaujme tvar půlválce. Tato bublina se má tendenci smrsknout, tedy působí na půlkružnice opačnými silami, které se vyruší, a na příčky silami směrem nahoru, tedy konstrukce v principu může vzlétnout. Spočtěte, jakou rychlostí vzlétne (nebo myslíte, že se tak stát nemůže; v tomto případě vysvětlete proč).

Změřte tloušťku magnetofonového pásku. Proměřte závislost úhlové rychlosti kotouče na době přehrávání kazety v případě, že kazetu přehráváme od začátku. Do řešení nezapomeňte připsat, s jakou kazetou jste měřili (podstatná je značka a délka).

K vysvětlení fotoelektrického jevu předpokládal Albert Einstein, že energie a hybnost světla je nesena částicemi, které se nazývají fotony. Aby se tyto částice mohly pohybovat rychlostí světla, musí být jejich klidová hmotnost nulová (tento vztah je formální, neboť s fotonem nemůžeme spojit vztažnou soustavu, a proto pojem klidové hmotnosti jakožto hmotnosti v klidovém systému nemá pro foton smysl). Mezi jejich energií a hybností tak platí jednoduchý vztah $E = pc$. Energie fotonu závisí na frekvenci světla $ν$ vztahem $E = hν$, jak plyne z Planckovy teorie, která objasnila vlastnosti tepelného záření absolutně černého tělesa. Hodnota Planckovy konstanty $h$ je rovna $6,626.10^\,\jd{-34}$ J.s.

• Předpokládejte, že energie fotonu je závislá pouze na frekvenci příslušné světelné vlny. Pomocí Dopplerova jevu a transformace mezi energií a hybností ukažte, že tato závislost musí být dána vztahem $E = hν$, kde $h$ je blíže neurčená konstanta.

• Uvažujte srážku fotonu s částicí, jejíž klidová hmotnost je $m_{0}$. Tato částice je v naší soustavě před srážkou v klidu. Vlnová délka fotonu před srážkou je v našem systému rovna $\lambda$. Při srážce se foton od původního směru vychýlí o úhel $\varphi$. Jak závisí změna vlnové délky $\Delta \lambda$ fotonu na úhlu odchýlení $\varphi?$