Zadání 4. série 9. ročníku

Ve velké newyorské koncertní síni Carnegie Hall sedí malý český človíček Honzíček, na programu je Beethovenova sedmá symfonie. Ne každý milovník vážné hudby z naší zemičky má na to, aby slyšel takovýto koncert na vlastní uši, a tak jiný malý český človíček Pepíček (mimochodem blízký přítel našeho hrdiny) sedí hezky doma v Praze na Vinohradech ve svém křesílku s ouškem přitisknutým na rozhlasovém přijímači. Do jaké řady má Honzíček koupený lístek, víte-li, že spolu se svým přítelem Pepíčkem slyší tóny Sedmé ve stejný okamžik?

Pozn.: Pokud postrádáte některé údaje, tak si je vyhledejte; jestli něco nemůžete skutečně zjistit, např. vzdálenost řad v C. Hall, tak si to odhadněte, jsme přece fyzici, ne?

Dva kamarádi se po dlouhém nočním tahu ztratili kdesi ve spleti newyorských streets a avenues. Jak to odpovídá jejich stavu, procházejí ulice po křivce velmi blízké sinusovce s amplitudou $A=5\;\mathrm{m}$ a periodou $T=12{,}6\;\mathrm{m}$. Udržují konstantní rychlost potácení $v=1\;\textrm{m}\cdot \textrm{s}^{-1}$ (ve směru osy ulice). Shodou okolností se v jeden okamžik ocitnou oba ve vzdálenosti $l=27\;\mathrm{m}$ od téže křižovatky, každý však uprostřed jiné ulice (viz obrázek), přičemž oba směřují doleva od směru k průsečíku obou ulic. Určete, v jaké nejmenší vzájemné vzdálenosti se během průchodu křižovatkou ocitnou, předpokládáte-li, že oba směřují stále týmž směrem a jeden druhého si nevšímají.

Cílem této úlohy je, abyste se naučili pracovat se souřadnicemi, takže řešení nemusí být v obecném tvaru, můžete klidně zaokrouhlovat. Výsledky obdržené numericky budou posuzovány rovnocenně analytickému či grafickému řešení.

Podle jedné z teorií vznikají hvězdy z oblaku mezihvězdné látky (kosmického prachu) smršťováním pod vlivem gravitačních sil. Určete dobu, za jakou se může zformovat hvězda z obrovského kulového oblaku kosmického prachu o hustotě $ρ=2\cdot 10^{–17}\;\textrm{kg}\cdot \textrm{m}^{–3}$. Můžete předpokládat, že se během smršťování částečky hmoty nepředbíhají a na začátku smršťování měly nulové rychlosti (oblak nijak nerotoval, nebyly v něm víry apod.). Zanedbejte také rozměry vzniknuvší hvězdy vůči počáteční velikosti oblaku.

Starostlivá maminka se chystá se svým malým drobečkem na procházku do parku. Vytlačí kočárek ze dveří, zamkne je a teď už na ni čeká jen malá překážka – schody. Postupně zdolává první patro, druhé patro a stále se ne a ne objevit někdo, kdo by jí pomohl. Najednou si ale vzpomene, že nahoře zapomněla láhev se sunarem. Co kdyby se snad její mazlíček na procházce unavil a dostal hlad? Nechá tedy kočárek kočárkem a běží zpět nahoru. Odemkne dveře, jde do kuchyně, vezme láhev a vtom ji přeběhne mráz po zádech, vyrazí studený pot na čele, znovu ji přeběhne mráz po zádech a teprve potom si uvědomí proč. Vždyť nechala stát kočárek jen tak na schodech! (Řešitelé bez představivosti nechť si prohlédnou přiložený obrázek, kde $T$ značí těžiště.) Hrůzou nepříčetná běží záchranit, co se dá. Na vás zbývá dokončit tento příběh, co myslíte, kde nalezne kočárek se svým děťatkem?

Mějme dvě tenounké trubičky, jednu o průměru $d$, druhou o průměru $3d$, přičemž menší z nich je souose vsunuta do větší (opačně by to nejspíše nešlo). Tuto soustavu ponoříme jedním koncem do misky se rtutí, jak je to vidět na obrázku. V jaké výšce se ustálí hladina rtuti uvnitř tenčí kapiláry a v mezeře mezi oběma kapilárami vzhledem k hladině v misce?

Je zima, blíži se jarní prázdniny, a jistě každý z vás se chystá do hor lyžovat, čehož jsme se rozhodli zneužít, a tak vám zadáváme následující úlohu: Změřte koeficient tření lyžaře na sněhu.

K dispozici máte cokoliv, zejména tedy toho lyžaře, lyže (kdo provede měření pro porovnaní zvlášť na běžkách a zvlášť na sjezdovkách, bude mít plus), sjezdovku (fyzikálně řečeno nakloněnou rovinu), měřič času (normálně řečeno stopky) a jiné věci, co vás napadnou a co byste mohli upotřebit. Pokud byste se chtěli vymlouvat, že letos již lyžovat nebudete, není problém tuto úlohu změřit i na rovině. Je jisté, že i ve vaší vesnici (městě, nebo v čem jiném bydlíte) bude alespoň jeden den sníh.

Pozn.: Nezapomeňte, že navoskované lyže na sněhu je krásný případ systému, kde koeficient tření závisí na rychlosti a možná i na povrchu styčné plochy, což můžete ověřit jízdou po jedné lyži. Bohužel však vzhledem k odporu vzduchu a dalším ručivým vlivům budou asi tyto efekty špatně měřitelné (ve vyšší rychlosti sice trochu klesne koeficient tření, zato značně vzroste odpor vzduchu).

Při odvození rovnice plynu jsme neuvažovali nárazy molekul na sebe navzájem. Pokuste se říci, ve kterém bodě našich úvah je třeba tento problém diskutovat a diskutujte ho.

Nápověda: Při diskusi použijte pojem střední volné dráhy molekuly.