Zadání 2. série 15. ročníku

Mějme výtah o hmotnosti $m$, který je pověšen na laně přes pevnou kladku. Za druhý konec lana tahá silou $F$ člověk, který stojí v onom výtahu. Jeho hmotnost je $M$. Spočtěte zrychlení výtahu.

Představte si metrovou ideálně homogenní tyč, kterou na krajích ve vodorovné poloze podepřete prsty. Prsty pomalu začněte přibližovat k sobě (směrem ke středu tyče), udržujete je pořád ve stejné výšce. Statický koeficient tření mezi prsty a tyčí je $f_{s}$, dynamický $f_{d}$, přičemž $f_{s}>f_{d}$. Následný děj podrobně popište.

Při fotografování běžným fotoaparátem nelze dokonale zaostřit na všechny objekty. Ostře se zobrazí pouze body ležící v rovine kolmé na osu objektivu, na kterou je aparát zaostřen. Co se ale stane, když sklopíme ve foťáku film (vůči objektivu)? Kde pak budou body, které se zobrazí ostře? Lze toho nějak prakticky využít?

Na obrázku je znázorněno zařízení, jímž lze měřit malé změny délky. Hlavní částí je vzduchový rovinný kondenzátor. Mění-li se délka vzorku, mění se vzdálenost desek kondenzátoru, a tedy i rezonanční frekvence $LC$-obvodu, kterou lze snadno měřit.

Uvažme, že před experimentem byla délka vzorku $l_{0} = 10,0 \,\jd{cm}$, vzdálenost desek kondenzátoru $d_{0} = 1,00 \,\jd{mm}$ a frekvence $f_{0} = 50,0 \,\jd{kHz}$. Pak byla teplota vzorku zvětšena o $\Delta t = 110 ^{o}\,\jd{C}$ a frekvence se snížila o $\Delta f = 950 \,\jd{Hz}$. Spočtěte koeficient teplotní délkové roztažnosti vzorku.

Představte si chladič, který jistě používáte v chemických laboratořích. Jsou to dvě souosé trubky, mezi nimi teče chladicí kapalina, ve vnitřní trubce teče kapalina chlazená. Naší otázkou je, zda je chlazení kapaliny účinnější, tečou-li kapaliny proti sobě či souběžně. Nezapomeňte popsat, za jakých zjednodušujících předpokladů úlohu řešíte.

Můžete buď přímo měřit potenciálový rozdíl mezi Zemí a izolovaným vodičem v určité výšce (pozor však, musíte zařídit, aby se potenciál tohoto vodiče stihl vyrovnat s potenciálem vzduchu v příslušné výšce – zkuste např. do vzduchu umístit nádobu s vodou tak, aby voda mohla odkapávat a odnášet tak sebou přebytečný náboj). Druhý způsob využívá faktu, že Země má svůj povrchový náboj. Umístíme-li do blízkosti povrchu vodivou desku a uzemníme ji, objeví se na ní náboj. Přikryjeme-li tuto desku jinou uzemněnou deskou, objeví se náboj na ní a z původní vymizí, což můžeme galvanometrem změřit.

• Působením rychlých částic kosmického záření vznikají vysoko v atmosféře částice zvané mezony $\mu$. Tyto částice žijí po dobu $\tau = 2.10^{-6}$ s a pak se rozpadají na jiné částice. Typická rychlost vzniklých mezonů $\mu;$ je $v = 0,998\,\jd{c}$. Mezony $\mu$ tudíž urazí vzdálenost $v\tau = 600 \,\jd{m}$. Jak je tedy možné, že jsou detekovány na zemském povrchu, když vznikají ve výškách větších než $6 \,\jd{km}$? Tento paradox vysvětlete jak z hlediska soustavy spojené se zemským povrchem tak z hlediska soustavy spojené s mezonem $\mu$.

• Mějme raketu, která odstartuje ze Země k jedné vzdálené hvězdě. Po dosažení hvězdy se opět vrátí zpět na Zemi. Na své cestě se raketa pohybuje konstantní rychlostí $v$ blízkou rychlosti světla.

Užitím diletace času dostaneme, že z hlediska pozorovatele na Zemi půjdou pomaleji hodiny na raketě. Podle pozorovatele na raketě však půjdou pomaleji hodiny na Zemi. Tento paradox se nazývá paradoxem dvojčat (hodiny na raketě a na Zemi lze nahradit dvojčaty). Užitím Lorentzovy transformace ukažte, že ve skutečnosti oba pozorovatelé dojdou ke stejnému závěru. Určete, ve kterém případě je diletace času užita chybně, a vysvětlete proč.

• V mnohých knihách naleznete následující vysvětlení paradoxu dvojčat: Raketa není inerciální soustavou, neboť se alespoň

v některých fázích letu musí pohybovat se zrychlením, a proto nelze užít STR. Přeformulujte tedy paradox dvojčat tak, aby se vše odehrávalo v inerciálních systémech. (Nápověda: K přenosu informace lze užít například elektromagnetický signál).