Zadání 4. série 21. ročníku

Jestliže jste někdy viděli včelí plást, jistě vás upoutala pravidelnost, s jakou je vybudován. V podélném řezu tvoří stěny buňky pravidelný šestiúhelník a buňky jsou k sobě seskupeny tak, že pokrývají celou rovinu plástu.

Proč mají včelí buňky tvar právě šestiúhelníků, a ne například obdélníků nebo pětiúhelníků?

V této úloze budeme studovat vliv teploty na moment setrvačnosti kovového tělesa. Pro tento účel necháme tělesem procházet pevnou osu, kolem které se bude otáčet. Jak se změní moment setrvačnosti $J$ tělesa při zvýšení jeho teploty o $ΔT$, je-li koeficient teplotní roztažnosti kovu $α$. Pokud si nevíte rady, zkuste uvažovat kouli nebo válec.

Nedávno v televizi proběhl dokument o výbuchu sopky Krakatoa v srpnu 1883. Pozoruhodné je, že rachot výbuchu dočasně ohlušil lidi (nějakou dobu nic neslyšeli) ve vzdálenosti $50\,\jd{ km}$ od vulkánu. Dokonce byl slyšet jako vzdálené hřmění ve městě Alice Springs v centrální Austrálii, tj. asi $5 000\,\jd{ km}$ (slovy pět tisíc) od sopky.

Jaká byla hodnota akustického tlaku v $\jd{dB}$ v místě výbuchu? Můžeme předpokládat, že platí zákon úbytku intenzity se čtvercem vzdálenosti, či jaký zákon úbytku intenzity bude platit pro tento případ?

ÚOOZ zjistil, že mafie disponuje mobilními válečnými lasery, které jsou všechny řízeny z centrály v horském pohraničním sídle Obernieredorf, vzdáleném od zbraní maximálně $50\,\jd{ km}$ (ve větší vzdálenosti je signál už slabý a nespolehlivý). Z centrály sledují dění v podsvětí v Karlových Varech, na které všechny lasery míří, aby udeřily v pravý čas.

Pomozte nevinným obyvatelům Karlových Varů nalézt vhodný tvar, příp. i umístění spojité zrcadlové plochy, která by pokud možno všechny laserové paprsky odrazila nejlépe na řídící centrálu! Problém můžete řešit v rovině, ale zejména oceníme prostorové řešení, pokud existuje. Samozřejmě je požadován důkaz, aby Karlovarští peníze neinvestovali zbytečně.

Navrhněte spravedlivou (či co nejvíce spravedlivou) pětistěnnou kostku. Přesněji máme na mysli takové pětistěnné těleso, které se při hodu na podložce zastaví na každé své stěně se stejnou pravděpodobností.

Pečlivě experimentálně prověřte, zda valivý odpor válce závisí na jeho poloměru či ne.

Modelujte časový vývoj vlnové funkce částice, kterou umístíme do potenciálu $V(x)=\frac{1}{2}kx$ a která je v čase $τ=0$ popsána vlnovou funkcí

$ψ_{R}(X,0)=\exp(−¹⁄4)$,

ψ$_{I}(X,0)=0$.

Jedná se tedy o vlnový balík se středem mimo počátek. Prozradíme vám, že jde o tzv. koherentní stav harmonického oscilátoru a vlnový balík by měl harmonicky kmitat kolem počátku s úhlovou frekvencí $\sqrt{k⁄m}$ stejně jako klasická částice.

Pokud se vám toto podaří namodelovat, můžete vyzkoušet, jak se budou chovat vlnové balíky o jiné šířce (tedy se jmenovatelem v exponenciále odlišným od čtyř), případně jak bude situace vypadat při jiném průběhu potenciálu.