Zadání 3. série 17. ročníku

Tři stejné družice obíhají po kružnici kolem malé planetky rychlostí $v$ tak, že jsou neustále ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka. Určete jejich hmotnost, která není zanedbatelná vůči hmotnosti planetky.

Organizátoři FYKOSu hráli kuličky. Po chvíli si všimli, že když se trefí do prázdné kulové jamky, kulička na dně kmitá kolem rovnovážné polohy. Určete frekvenci těchto malých kmitů. Jamka má poloměr $R$, poloměr kuličky je $r$ a její hmotnost je $m$. Smykové tření mezi kuličkou a povrchem jamky je dostatečně veliké, aby při kutálení nedocházelo k prokluzování. Nápověda: je-li $φ$ malé, můžete použít rovnost sin $φ=$ tg $φ=$ $φ$ a použít analogii s pohybem závažíčka na pružince.

Jaký je odpor mezi body $A$ a $B$ odporové sítě na obrázku? Svislé úsečky mají odpor $R$ a vodorovné odpor nemají. Síť je nekonečná, na obrázku je z technických důvodů jen konečná iterace.

Vesmírná loď Escapeprise se vrací z prostoročasové bitvy s Odborgy. Během letu ale zjišťují, že nešťastnou náhodou směřují přímo do černé díry FAK-U0. Rozhodnou se pro úhybný manévr a kolmo na směr své rychlosti vypustí v jednom okamžiku všechno palivo. Vypočtěte vzdálenost, ve které Escapeprise kolem černé díry proletí. Jakou největší hmotnost může černá díra mít, nemá-li do ní Escapeprise spadnout? Jako bonus se zamyslete nad tím, zda kapitán Kork mohl úhybný manévr vymyslet chytřeji? Hmotnost samotné lodě je $M$, paliva $m$. Rychlost lodě ve velké vzdálenosti od černé díry je $V$ a směřuje do středu černé díry. Rychlost vypuštěného paliva je $v$ a úhybný manévr proběhl též velmi daleko od černé díry.

Představte si autíčko, jehož motor má konstantní tažnou sílu $F$, pohybující se rychlostí $v$. Jeho výkon tedy je $P=Fv$. Avšak cyklista jedoucí konstantní rychlostí $u$ pozoruje výkon $P=F(v−u)$. Spotřeba benzínu, která odpovídá výkonu, je však stejná z pohledu cyklisty i stojícího chodce. Vysvětlete tento „paradox“. Odpor vzduchu neuvažujte.

Určete, na které rovnoběžce se nachází vaše bydliště. Navrhněte co nejvíce metod a alespoň dvě realizujte.

Spočtěte sílu působící mezi dvěma dalekými elektrickými dipóly o momentech $\textbf{p}_{1}$ a $\textbf{p}_{2}$ ve vzdálenosti $r$, pokud

• leží v jedné přímce a jsou souhlasně orientovány,
• jsou souhlasně orientovány ve směru kolmém na spojnici,
• dipól $\textbf{p}_{1}$ je orientován kolmo ke spojnici, $\textbf{p}_{2}$ rovnoběžně s ní směrem k prvnímu.