Zadání 3. série 20. ročníku

Na zámořském parníku připravuje pro posádku jídlo kuchař Thomas. Na podávání talířů má šikovné zařízení. Pružinový držák udržuje vrchní talíř pořád ve stejné výšce. Vzdálenost mezi talíři je 1 cm. A protože je moře bouřlivé, sloupec 25 talířů pěkně kmitá. Jaká je frekvence těch kmitů?

V pátek 14. ledna 2005 na povrchu Titanu hladce přistála sonda Huygens, pojmenovaná po objeviteli Titanu. Mateřská sonda Cassini ji nesla k Saturnu 7 let. Jedná se dosud o nejvzdálenější přistání umělé sondy v dějinách.

Přistávací modul o čisté hmotnosti (bez paliva) $m$, vybavený reaktivním motorem, se vznášel v klidu nad povrchem měsíce (gravitační zrychlení je zde $g)$. Měl k dispozici palivo o hmotnosti $M$ a zásobu energie o velikosti $E_{0}$, kterou využíval k urychlování paliva (rychlost a množství paliva vypuzovaného z motoru lze libovolně měnit). Jaká je maximální doba, po kterou se sonda mohla vznášet v konstantní výšce? Poraďte řídícímu středisku, jakým způsobem by mělo naprogramovat rychlost a množství vypuzovaného paliva, aby této maximální doby dosáhli.

Z redukovaných hvězdných spekter složek dvojhvězdy (podle přítomných spektrálních čar, z nichž žádná v tomto případě nemění svou polohu v čase) jsme určili spektrální třídy obou hvězd a následně odhadli jejich hmotnosti na 2 a 3 hmotnosti Slunce. Z pozorování dalekohledem s ohniskovou vzdáleností 3 m víme, že složky skutečně obíhají v neměnné vzdálenosti 5 úhlových minut od sebe jednou za 50 let.

Dokážete z těchto informací určit vzdálenost dvojhvězdy od Slunce? Pokud ano, uveďte, jak jste jednotlivé informace použili, anebo nepoužili, a výsledek vhodně zaokrouhlete. Také okomentujte, jaký vliv na něj má nepřesná znalost údajů, zejména hmotností.

Albert Einstein se v důchodovém věku (narozdíl od svých vrstevníků šťourajících se v zahrádce) zamýšlel nad různými paradoxními jevy. V zimě si všiml, že když ohřívá vodu v topení přímo ohněm, účinnost je velmi malá.

Napadlo ho vyzkoušet jiný postup. Vzít ideální tepelný stroj a použít kotel a venkovní vzduch jako teplou a studenou lázeň. Práci, kterou z tohoto stroje získá, pak vložit do jiného ideálního tepelného stroje, který bude odebírat teplo vzduchu a předávat jej vodě. Jestliže jsou teploty kotle, vody a vzduchu $T_{1}$, $T_{2}$ a $T_{3}$, jaká je účinnost ohřevu vody? Nedochází náhodou k porušení druhého termodynamického zákona?

Jistě znáte lyžařskou disciplínu akrobatické skoky. Lyžař po rozjezdu z kopce najíždí na můstek a skáče do vzduchu. Před dopadem zvládne skokan provést několik vrutů a salt. Vysvětlete, jak to lyžař dělá – co musí udělat, aby se začal otáčet tak, jak chce. Jak vyvrátíte tvrzení, že podle zákona zachování momentu hybnosti se musí skokan po celou dobu skoku otáčet kolem stejné osy a stejnou rychlostí?

Navrhněte a dostatečně teoreticky zdůvodněte metody k experimentálnímu určení Planckovy konstanty, které se dají realizovat doma, příp. s vybavením ve školní laboratoři, a alespoň jednu z nich proveďte. Všechny veličiny, které je možné experimentálně určit (zvažte užití statistiky), co nejpřesněji změřte a správně vyhodnoťte velikost této fundamentální konstanty s příslušnou experimentální chybou.

Nápověda: LED dioda s ochranným rezistorem stojí cca 5 Kč.

Viz přiložené soubory.