Zadání 5. série 20. ročníku

Z okna výškové budovy vypadl klavír i s klavíristou, který po celou dobu pádu hrál zděšené A. O $k$ pater pod tímto oknem odpočíval nebohý umývač oken. Jak velké je $k$, jestliže poslední, co umývač slyšel, bylo Ais, tedy tón o půltón vyšší? Rychlost zvuku v daném vzduchu je $347\, \jd{m\cdot s^{−1}}$, výška jednoho patra je $3,\!1\, \jd{m}$.

Deník kapitána Korka: „Hvězdný čas 51824,2. Budoucnost hvězdné flotily je znovu ohrožena. Romulani se nás pokoušejí zničit. Zaútočila na nás jejich nová bitevní loď typu Karusel s laserovým otáčivým dělem. Doktor Spok rozhodl, že není možno se s nimi utkat a musíme zaujmout výhodnější postavení co nejdále od nepřítele. Náš palubní vědecký pracovník bohužel ale zrovna spí a my ho nechceme budit. Jsme zřejmě odsouzeni k záhubě ...“

Poraďte kapitánovi, jaký manévr má provést, aby unikl jisté zkáze. Hvězdná loď Enterprise má tvar koule o poloměru $R$, na začátku je ve vzdálenosti $r_{0}$. Dělo Karuselu se otáčí úhlovou rychlostí $ω$ a střílí vždy do míst, kde jeho laserový senzor zjistí přítomnost Enterprise. Jakou nejmenší rychlostí se může Enterprise pohybovat, aby Karuselu ještě unikla?

Vžijte se do role ředitele firmy, která chce jako první na světě začít vyrábět rezistory pro všeobecné použití. Na základě průzkumu trhu bylo zjištěno, že poptávka po rezistorech je rovnoměrně rozdělena v rozmezí 1 Ω –10 MΩ. Z technických důvodů však můžete vyrábět pouze konečné množství, řekněme 169, různých rezistorů.

Pokud zákazník požaduje rezistor s hodnotou $R_{p}$ a vy mu nabídnete rezistor s hodnotou $R_{n}$, bude „míra jeho nespokojenosti“ dána vztahem $(1−R_{p}/R_{n})$. Otázkou je, jaké hodnoty odporu musí mít vámi vyráběných 169 rezistorů, aby byla střední nespokojenost všech zákazníků minimální. Pro jednoduchost řekněme, že první a poslední rezistor z vaší nabídky musí mít hodnoty 1 Ω a 10 MΩ.

Buffalo Bill se už roky snaží polapit Jessieho Jamese, známého banditu. V městečku Clay County mu konečně přišel na stopu. Strhla se přestřelka. Buffalo si všiml sudu plného petroleje na vozíku mezi sebou a Jessiem. „Jak dostat sud k Jessiemu, abych ho mohl zapálit,“ rozmýšlí Bill.

Jessie prostřelil sud v 9/10 výšky a ze sudu začal stříkat petrolej. Buffalo se trefil přesně do poloviny sudu a střílí znovu. Vyřešte, s jakým počátečním zrychlením se bude pohybovat vozíček v závislosti na tom, kam se Bill trefí podruhé. Předpokládejte, že hybnost kulky je nulová, a tření zanedbejte.

Do jaké výšky by se musel Buffalo trefit, aby petrolej stříkal nejdále?

Nedávno si nechal jeden z organizátorů doma vyměnit okna. Místo starých dřevěných přišla nová plastová s dvojitými skly. Okna se dodávají v několika variantách podle toho, jestli je prostor mezi skly evakuován anebo naplněn některým ze vzácných plynů. Navrhněte způsob, jak zjistit, kterou variantu organizátorovi dodali, ovšem bez trvalých následků na oknech.

Změřte optickou aktivitu roztoku glukózy v závislosti na jeho koncentraci. Optická aktivita je stáčení roviny lineárně polarizovaného světla při průchodu danou látkou. Úhel otočení je přímo úměrný délce dráhy, kterou paprsek v látce urazil, a závisí také na vlnové délce světla. Pokuste se zjistit/vymyslet/vzpomenout, čím je optická aktivita na molekulární úrovni způsobena.

Měření optické aktivity se používá k zjištění koncentrace cukru v roztocích. Je tato metoda spolehlivá? Má každý cukr stejnou optickou aktivitu?

Viz přiložený soubor.