Zadání 1. série 20. ročníku

<h3>Hluboký vesmír, 2224</h3>

Federace dostala zprávu, že v sektoru 0056 dochází ke shlukování tajemné hmoty s podivuhodnými vlastnostmi. Hmota je temná, neboť vůbec neinteraguje s elektromagnetickým zářením, její částice interagují pouze gravitačně. Federace tudíž vyslala malou dvojčlennou vědeckou loď na průzkum. Během cesty se však porouchal počítač a loď narazila do asteroidu, což ji vychýlilo z kurzu.

Posádce se povedlo nouzově přistát na neznámé planetě třídy M. Během samovolného pádu se zahříval trup lodi vlivem kontaktu s atmosférou. Z rychlosti pádu určila posádka gravitační zrychlení na planetě 0,5$g$.

Planetu pokrývaly hlavně lesy s neuvěřitelně vysokými stromy. Trikorderový scan určil, že se velmi podobají listnatým stromům na Zemi a dosahují největší možné výšky. Ačkoli se chlubily listím, měly stejné šišky jako pozemské jehličnany, včetně struktury a funkce.

Při dalším průzkumu planety narazili členové posádky na humanoidy, kteří obývali stromy a mohli by je transportovat do horních pater lesa, odkud by šel poslat nouzový signál. Tamější humanoidi používali k vysílání signálů barevné kamínky, které propouští světla různých barev, a když se světla jednotlivých kamínků zkombinují, dávají další barvy.

Po vyslání signálu z výšky stromu brzy dorazila vesmírná loď USS Odyssey a vyzvedla trosečníky. Ti pak do 16. října 2006 poslali závěry z mise velitelství hvězdné flotily na Zemi.

Tajemná hmota je homogenní a izotropní oblak plynu na počátku v naprostém klidu. Tento oblak o celkové hmotnosti $M$ má přesně tvar koule. Zjistěte, jak se (lokálně) v objemu oblaku bude měnit hustota při gravitačním kolapsu. Okomentujte rychlost hroucení v okamžiku, kdy bude všechna hmota těsně před shroucením do jednoho bodu.

Určete, jaký úhel po srážce svírala trajektorie asteroidu a vědecké lodi. Před srážkou byl kulový asteroid v klidu a měl stejnou hmotnost jako loď. Uvažte, že loď chrání štíty, které mají kulový tvar.

Vysvětlete, proč zkombinováním světel ze dvou barevných kamínků dostanou vědci jinou barvu, než když přímo smíchají dvě barvy, které kamínky mají.

Přispějte něčím zajímavým do deníku vědecké výpravy (obrázkem či jiným uměleckým výtvorem, dobrodružnou příhodou v délce denního hlášení, fyzikálním pozorováním, ...).

Odhadněte výšku stromů na planetě. Uvažte všechna možná hlediska, která mohou výšku stromů ovlivnit.

Počet spirál tvořených šupinami šišek vycházejících od špičky není libovolný, nýbrž nabývá hodnot 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... To jsou členy tzv. Fibonacciho posloupnosti, v níž další člen získáme sečtením předchozích dvou, přičemž první dva členy posloupnosti jsou 1 a 1. Jako každé pravidlo má však i toto své výjimky. Někdy se totiž stane, že počet spirál je roven 1, 3, 4, 7, 11, ..., tedy prvku Lucasovy posloupnosti. Získáme ji stejným postupem jako Fibonacciho, začínáme ale s 1 a 3.

Vaším úkolem je zjistit, jak často a za jakých podmínek se tato anomálie vyskytuje na Zemi. Prozkoumejte závislost na co nejvíce různých parametrech (např. roste-li strom v lese či volně).

V této úloze se budeme zabývat atomem vodíku, který je tvořen velice hmotným jádrem s nábojem $e$ a lehkým elektronem o hmotnosti $m$ s nábojem $−e$, který kolem jádra obíhá pro kruhové trajektorii.

• Určete, jak na základě klasické fyziky závisí vzdálenost elektronu od jádra atomu na jeho celkové (kinetické a potenciální) energii $E$.
• Přijměme Bohrovu hypotézu, že moment hybnosti elektronu je kvantován, tzn. může nabývat jen hodnoty $L=nh/2π$, kde $n$ je přirozené číslo. V jaké vzdálenosti potom může elektron kolem jádra atomu obíhat?
• Určete frekvenci fotonu, který elektron vyzáří, pokud přejde z $n$-té do $m$-té povolené vzdálenosti od jádra.