Zadání 5. série 16. ročníku

V dešťovém mraku je množství malých kapiček vody, jejichž hustotu (tj. celkovou hmotnost kapiček v nějakém objemu lomeno tímto objemem) označme $\rho_{1}$, hustotu vody $\rho_{0}$. Spojením několika kapiček vznikne větší kapka, která začne padat a postupně na sebe nabaluje další a další kapičky. Spočítejte, jak se bude měnit poloměr padající kapky, a s jakým zrychlením se bude pohybovat.

Pro jednoduchost neuvažujte odpor vzduchu působící na kapku a malé kapičky považujte za nehybné.

Odhadněte, za jak dlouho se Apollo dostane na orbitu Měsíce, neplýtvá-li zbytečně palivem. Nezapomeňte uvést, jaké zjednodušující předpoklady jste při výpočtu provedli.

Mějme dvě na sebe kolmé nevodivé tyče a na nich nabité kuličky (viz obrázek), které se po nich mohou po tyčích volně pohybovat. Kuličky mají stejnou hmotnost $m$ a náboje $q$ a $−2q$. Na počátku jsou v klidu a jejich vzdálenost od průsečíku tyčí je $d$ a $2d$. Určete, kde se bude nacházet druhá kulička v okamžiku, kdy první dosáhle průsečíku tyčí.

Spočtěte odpor mezi body $A$, $B$ na nekonečné síti na obrázku. Všechny hrany sítě mají stejnou délku a odpor.

Jaký je geometrický tvar (průřez) kapaliny vytékající z kohoutku v závislosti na vzdálenosti od hrdla? Pokuste se také odhadnout, v jaké vzdálenosti se proud vody začne trhat.

Traduje se historka, že jeden zmrzlinář, když potřeboval rychle vyrobit led, dával do mrazáku ohřátou vodu místo studené. Ověřte, zda je skutečně možné, aby na počátku teplejší voda zmrzla rychleji než stejné množství vody studené. Specifikujte při jakých podmínkách se to může stát.

• Dokažte, že vektory $v_{1}=(1,2,3)$, $v_{2}=(-1,0,1)$, $v_{3}=(1,1,1)$ jsou lineárně závislé.

• Vyřešte následující soustavu diferenciálních rovnic pomocí výpočtu exponenciály matice

$$ \begin{pmatrix} x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y
\end{pmatrix} $$

Diskutujte tvar trajektorie řešení v rovině ($x,y)$ v závislosti na znaménku parametrů $a,b$.

Nápověda: Zjistěte, zda "náhodou" neexistuje jistá podobnost mezi maticí této soustavy a komplexním číslem $a$ + $bi$ a vzpomeňte si na vzorec pro exponenciálu komplexního čísla z prvního dílu seriálu.

• Napište matice $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{3}$ popisující prostorové rotace o úhel $\frac{\pi}{2}$ okolo os $x$, $y$ a $z$ a spočítejte komutátory [$R_{1}$, $R_{2}]$, [$R_{2}$, $R_{3}]$, [$R_{1}$, $R_{3}]$. Jako nepovinný bonus se můžete pokusit své výsledky zapsat v jednotném tvaru pomocí takzvaného $Levi-Civittova$ $\epsilon$ [čti: levičivitova].

Levi-Civittovo $\epsilon$ je symbol se třemi indexy $\epsilon_{ijk}$, kde $i,j,k = 1,2,3$, který nabývá následujících hodnot: Mají-li alespoň dva z jeho indexů stejnou hodnotu, je $\epsilon_{ijk} = 0$. Dále $\epsilon_{123} = 1$ a pro všechny ostatní permutace indexů (1,2,3) získáme jeho hodnotu tak, že vyjdeme z posloupnosti 1,2,3, kterou budeme postupně modifikovat přehazováním poloh dvou čísel (např. z (1,2,3) na (2,1,3)) a to tak dlouho, dokud nedospějeme k permutaci indexů která nás zajímá. Pokud byl počet kroků (přehození dvou čísel) sudý, bude $\epsilon_{ijk}$ a v opačném případě je $\epsilon_{ijk} = -1$ (jedná se o totálně antisymetrický tenzor třetího řádu).