Zadání 2. série 21. ročníku

Představte si, že jedete rychlíkem. Díváte se ven z otevřeného okna a sledujete okolní krajinu. O tři okna dál po směru jízdy nějaký zákeřný lump vyplivne žvýkačku. Kolik času máte, aby jste stihli uhnout? Samozřejmě přepokládáme, že žvýkačka je dokonalá koule a z okna nebyla vyhozena, nýbrž vlastně položena do proudu vzduchu.

Navrhněte sklon a tvar předního skla automobilu tak, aby z něj kapky dešťové vody při rychlosti auta $80\,\jd{ km ⁄ h}$ nestékaly dolů, ale do stran. Ověřte, zda váš výsledek odpovídá skutečnosti. Co dalšího určuje sklon čelního skla?

Vinaři a řidiči kamionu dobře znají šikovné přelévání kapalin z těžkých nádob. Vinař Ignác chce stočit víno z jednoho demižonu do druhého. Nejprve položí prázdný demižon na zem a plný do výšky $Δ$. Potom demižony propojí hadičkou a trochu z ní zespodu potáhne. Víno začne samovolně proudit do spodního demižonu. Za jak dlouho bude všechno víno stočeno? Předpokládejte, že demižony jsou stejné válce poloměru $R$ a výšky $H$.

Dva stejné náboje umístíme na oba konce tuhé nevodivé tyčky. Jaký výkon budeme potřebovat na otáčení tyčky konstantní úhlovou rychlostí kolem osy procházející středem tyčky. Tření zanedbejte.

Batyskaf Trieste se ponořil do velké hloubky Mariánského příkopu a vypustil bublinu, která začala stoupat ... Když však podle stavové rovnice ideálního plynu vypočítáte hustotu vzduchu v bublině, zjistíte, že je bublina těžší než voda. Je to možné?

Pokud souhlasíte, vysvětlete svoji odpověď. Pokud nesouhlasíte, vypočítejte, jaké budou parametry bubliny (především hustota).

Experimentálně prověřte tvrzení, že vinnou rotace Země se na severní (jižní) polokouli vír vody vypouštěné otvorem otáčí doprava (doleva). Mají-li mít vaše závěry váhu, musíte provést dostatečný počet měření v různých podmínkách.

Skladování uranu

Palčivá otázka jaderné energetiky je skladování vyhořelého radioaktivního paliva. Většinou se skladuje ve válcových článcích ponořených ve vodní lázni, která drží jejich povrch na konstantní teplotě asi $20\,\jd{ °C}$. Na vás je nyní zjistit, jaké bude rozložení teploty v článcích tvaru kvádru se čtvercovou podstavou o hraně délky $20\,\jd{ cm}$. Článek bude poměrně vysoký a proto nás zajímá rozložení tepla v příčném řezu. Uran bude zaujímat koncentrický kvádr se čtvercovou podstavou o hraně $5\,\jd{ cm}$. Ze zkušenosti s válcovými kapslemi víme, že bude mít konstantní teplotu okolo $200\,\jd{ °C}$.

Zahřívající se drát

Máme velmi dlouhý drát kruhového průřezu o poloměru $r$ z materiálu o tepelné vodivosti $λ$ a měrné elektrické vodivosti $σ$. Přiložíme na něj konstantní elektrické napětí. Nechť je intenzita elektrického pole (tj. napěťový spád) uvnitř drátu konstantní, rovnoběžná s jeho osou a její velikost budiž $E$. Pak drátem bude procházet proud o plošné hustotě $j=σE$ a bude se vytvářet Jouleovské teplo s objemovým výkonem $p=σE$.

Protože materiál drátu má nenulovou tepelnou vodivost, vytvoří se v něm jisté rovnovážné rozložení teploty, které – jak víme – splňuje Poissonovu rovnici $λΔT=−p$. Předpokládáme, že okraj drátu udržujeme na dané teplotě $T_{0}$. Tím máme dánu okrajovou podmínku potřebnou k vyřešení rovnice. Vzhledem k symetrii problému se můžeme omezit na její řešení pouze ve dvou rozměrech – na průřezu vodiče (teplota jistě nebude záviset na posunutí podél osy vodiče). Nyní by již bylo jednoduché problém vyřešit popsanými metodami.

My si však situaci maličko zkomplikujeme a budeme předpokládat (zcela oprávněně), že měrná elektrická vodivost $σ$ závisí na teplotě. Budeme tedy mít rovnici typu $ΔT=f(T)$.

Pokuste se tuto rovnici numericky vyřešit pro nějakou danou závislost vodivosti na teplotě (můžete si ji najít v literatuře, na internetu, nebo si klidně nějakou vymyslet) a najít tak rozložení teploty na průřezu drátu. Můžete se pokusit měnit intenzitu elektrického pole $E$ a nakreslit voltampérovou charakteristiku drátu, vyzkoušet více druhů závislostí $σ(T)$ (třeba pro polovodič, jehož vodivost s rostoucí teplotou na rozdíl od obyčejného kovu roste) atd.

Vaší iniciativě samozřejmě meze neklademe a těšíme na pěkné nápady.

Kapacita krychle

Vypočítejte kapacitu dokonale vodivé krychle o straně délky $2a$. Pokud se budete nudit, můžete zkusit kvádr (a třeba závislost kapacity na délkách jednotlivých stran), případně jiné geometrické objekty.

Nápověda: Kapacita je poměr náboje na krychli rozmístěného ku potenciálu povrchu krychle (za předpokladu, že potenciál v nekonečnu je nulový). Problém tedy lze řešit tak, že si zvolíme libovolně potenciál krychle, vyřešíme Laplaceovu rovnici $Δφ=0$ vně krychle a vypočítáme celkový náboj na krychli užitím Gaussova zákona (tj. určením intenzity elektrického pole derivováním potenciálu a výpočtem jeho toku vhodně zvolenou plochou obklopující krychli).

Úplným řešením je vymyšlení vhodného fyzikálního modelu, návrh jeho numerického řešení a realizace této úlohy na počítači. Bodově ohodnotíme, pokud úlohu fyzikálně rozvážíte a okomentujete. Nějaký bod by se našel i za návrh algoritmu, který byste rádi počítači předložili.