Zadání 1. série 13. ročníku

Mějme pevně upevněný válec o poloměru $R_{V}$ umístěný ve vakuu mimo jakékoliv silové pole. K tomuto válci připevníme (např. přilepíme) jeden konec niti, která má mez pevnosti v tahu $σ_{t}$, poloměr $r$ a délku $l$, na jejímž druhém konci je upevněna olověná kulička o hmotnosti $m$. Nit napneme a kuličce udělíme rychlost $v_{0}$, jejíž směr bude kolmý na napnutou nit a na osu válce. Nit se začne na válec namotávat. Určete, v jaké vzdálenosti od válce se kulička utrhne a jaká bude v tomto okamžiku její rychlost.

Řešte nejprve obecně a pak pro hodnoty: $v_{0}=1\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, $m=2\;\mathrm{kg}$, $r=0,2\;\mathrm{mm}$, $σ_{t}=160\,\jd{MPa}$, $R_{V}=5\;\mathrm{cm}$, $l=2\;\mathrm{m}$.

Určete, jaký výkon dodává do elektrické sítě vlak o hmotnosti $m=800\,\jd{t}$, který pomocí elektrodynamických rekuperačních brzd (brzdy, které přemění kinetickou energii vlaku na energii elektrickou) zastaví z rychlosti $v=80\;\mathrm{km}\cdot \,\jd{h^{-1}}$ za $t=2\,\jd{min}$. Účinnost rekuperace uvažujte 50%.

Do nádoby s vodou dáme ponorný ohřívač a zapneme jej do zásuvky. Závislost teploty na čase po zapnutí ohřívače vidíme na grafu na obrázku. Poté, co teplota dosáhne $60 ^ {\circ}\,\jd{C}$ (trvalo to tři minuty), ohřívač vypneme. S pomocí grafu odhadněte, za jak dlouho nádoba s vodou vychladne na $50 ^{\circ}\,\jd{C}$. A za jak dlouho na $30 ^{\circ}\,\jd{C}$? Tepelnou kapacitu a tepelnou setrvačnost ohřívače neuvažujte.

Planeta o poloměru $R=6400\;\mathrm{km}$ je obklopena $H=10\;\mathrm{km}$ hlubokým mořem o hustotě $ρ=1000\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}$. Měřením bylo zjištěno, že při ponořování tělesa do moře se nemění gravitační síla na něj působící. Máte-li zadánu gravitační konstantu $κ=6,67\cdot 10^{-11}\,\jd{N}\cdot \;\mathrm{m}^{2}\cdot \mathrm{kg}^{-2}$, spočtěte gravitační zrychlení u povrchu planety.

Máme stolek a na něm hrníček. Chceme stolek přemístit o $10 \,\jd{m}$ dále. Navrhněte průběh zrychlení tak, aby hrníček nespadl a stolek se přemístil co nejrychleji (přičemž na konci pohybu se nebude hýbat ani hrníček ani stolek). Stůl má rozměry $1\,\jd{×}1 \,\jd{m}$ a hrníček je před pohybem umístěn ve středu. Součinitel klidového tření (mezi hrníčkem a stolem) je $f_{0}=0,19$, koeficient tření v pohybu je $f=0,10$, stůl se může pohybovat maximálně se zrychlením $a_{max}=5\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Veškerý pohyb (a tedy i zrychlení) se odehrává v rovině stolu, která je vodorovná.

Vaším úkolem je změřit měrnou tepelnou kapacitu vody. Metodu měření si můžete vybrat sami, lze například měřit rychlost vzrůstu teploty vody ohřívané ponorným vařičem nebo měřit změnu teploty vody při ponoření tělesa o známé teplotě a tepelné kapacitě, vaší vynalézavosti se však meze nekladou.

Určete, kolikrát méně elektronů je ve vodivostním pásu typického izolantu (šířka zakázaného pásu je $10 \,\jd{eV}$), než v případě polovodiče (šířka zakázaného pásu křemíku je $1,12 \,\jd{eV}$) při pokojové teplotě. Předpokládejte, že v limitě vysokých teplot se koncentrace vyrovnají. Jak se tento poměr změní při zahřátí izolantu i polovodiče na teplotu $500 \,\jd{K}$?