Zadání 4. série 29. ročníku

Mějme kofolu s energetickou hodnotou $Q_{\mathrm{k}} = 1\,360\,\mathrm{kJ\!\cdot\! kg^{-1}}$ a teplotou $t_{\mathrm{k}} = 24\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a kofolu bez cukru s energetickou hodnotou $Q_{\mathrm{bez}} = 14{,}4\,\mathrm{kJ\!\cdot\! kg^{-1}}$ a teplotou $t_{\mathrm{bez}} = 4\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Pokud předpokládáme, že v jiných vlastnostech se kofoly od vody neliší, při jaké teplotě můžeme pít směs těchto kapalin tak, aby byla celková získaná energie nulová?

Jak daleko musí být člověk od BTS (základnové převodní stanice), aby působení jejího vysílání na mozek bylo srovnatelné s vysíláním mobilu přímo u hlavy? Předpokládejte, že BTS vysílá rovnoměrně do poloprostoru a má vysílací výkon $400\,\mathrm{W}$. Vysílací výkon mobilu je $1\,\mathrm{W}$.

Máme roli toaletního papíru o poloměru $R=8\,\mathrm{cm}$ s dutou částí o poloměru $r=2\,\mathrm{cm}$. Každá vrstva namotaného papíru má tloušťku $d = 200\,\mathrm{\upmu m}$ a vrstvy na sebe dokonale přiléhají. O kolik útržků více v takovéto roli máme, pokud má jeden útržek délku $l_1=9\,\mathrm{cm}$, než když má jeden útržek délku $l_2=13\,\mathrm{cm}$? Jako součást řešení vyžadujeme odhad chyby použité aproximace. Bonus: Vypočtěte přesnou délku spirály, kterou papír vytváří.

Kolik nejméně stejně velkých mýdlových bublinek o poloměru $r$ se musí spojit, aby vytvořily jednu bublinu, která má poloměr alespoň $3r$? Uvažujte, že vzduch v bublinách má stále stejnou teplotu.

Na vodorovné ploše jsou rovnoběžně položeny dva stejné kvádry o hmotnosti $m$ a délce $l$. Vzdálenost bližších stěn těchto kvádrů je $2x_0$. Mezi kvádry začneme lít vodu objemovým tokem $Q$. Na krajích těchto kvádrů jsou mantinely zabraňující odtékání vody z prostoru mezi kvádry. Statický koeficient tření mezi kvádrem a podložkou je $f_0$ a dynamický $f$. Tření mezi kvádry a mantinely neuvažujte. Jaká je podmínka na $f_0$, aby se kvádry vůbec nerozpohybovaly? V případě, kdy je $f_0$ dostatečně malé, vypočítejte závislost zrychlení kvádrů na jejich poloze a vzdálenost, ve které kvádry zastaví.

Veškerý pohyb vody považujeme za dostatečně pomalý, takže v ní nevznikají žádné vlny ani víry, nezahřívá se třením a ani sama nemá žádnou kinetickou energii. Protože je tedy i $Q$ malé, můžete uvažovat, že přilévání další vody po rozpohybování kvádrů nemá na jejich pohyb vliv. Bonus: Najděte podmínku pro překlopení kvádru.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Jak vysoká věž by se dala postavit z hliníkových plechovek od dietního nápoje kolového typu?

Změřte mez pevnosti kancelářského papíru v tahu. Ideálně použijte co nejméně potištěnou část brožurky, ve které vám přišlo zadání (pro tisk je využíván papír $80\,\mathrm{g\!\cdot\! m^{−2}}$).

1. Z nerovnosti \begin{equation*} \Delta S_{\mathrm{tot}} \ge 0 \end{equation*} ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci \begin{equation*} W\le Q\left( 1 - \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} \right)\,. \end{equation*}

2. Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

   Pomůcka: Napište čtyři rovnice spojující čtyři vrcholy Carnotova cyklu \begin{equation*} p_1 V_1 = p_2 V_2\,, p_2 V_2^\kappa = p_3V_3^\kappa\,, p_3V_3 = p_4V_4\,, p_4V_4^\kappa = p_1V_1^\kappa \end{equation*} a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete \begin{equation*} \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4}\,. \end{equation*} Dále stačí použít vzorec pro práci při izotermickém procesu: pokud jde proces z objemu $V_{\mathrm{A}}$ do $V_{\mathrm{B}}$, práce vykonaná na plynu je \begin{equation*} nRT\ln\frac{V_{\mathrm{A}}}{V_{\mathrm{B}}}\,. \end{equation*} Teď si už jen stačí uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovna teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odevzdané teplo. Jako řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.

3. Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Proveďte podobné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete do něj izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslete do diagramu též cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správně směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.

4. V seriálu jsme zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odevzdané teplo. Někdy se totiž to, zda teplo přijímáme anebo dáváme, mění během procesu. Jedním z příkladů je proces \begin{equation*} p = p_0 \mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}\,, \end{equation*} kde $p_0$ a $V_0$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínaní) proudi teplo do plynu, a kdy z plynu.