3. Série 32. Ročníku

Výběr série

Termín odeslání poštou: 17. 12. 2018
Termín uploadu: 18. 12. 2018 23:59:59

(3 body)1. zlevněné banány

Mikuláš v obchodě vložil několik banánů do igelitového sáčku. Před jejich zvážením ho napadlo, že kdyby pytlík naplnil místo vzduchu heliem, budou banány stát o něco méně. Helium Mikuláš koupil ve slevě za jednu korunu na litr při standardním tlaku. Jaká musí být cena banánů, aby se mu tento „podvod“ vyplatil?

Bonus: Nalezněte plyn, u kterého se vyplatí plnit jím sáček při ceně banánů $30$ korun na kilogram. Nezapomeňte citovat zdroje ceny daného plynu.

(3 body)2. efektivní kafe

Jsou dvě hodiny v noci a Jáchym si jde uvařit kafe. Na plotýnku, kterou tvoří litinový válec o poloměru $r$ a výšce $h$, položí konvici s tepelnou kapacitou $C\_k$. Konvice obsahuje vodu o objemu $V$, která má počáteční teplotu $T\_v$. Zbytek soustavy má počáteční teplotu $T\_s$. Jaká je celková účinnost (tj. poměr energie přijaté vodou ku dodané energii) ohřevu vody z její počáteční teploty na teplotu $T = 100 \mathrm{\C }$? Neznámé hodnoty si dohledejte v tabulkách, nebo je odhadněte. Předpokládejte, že děj proběhne tak rychle, že všechny tepelné ztráty můžeme zanedbat. Pro úplnost zadání nechť $T\_s, T\_v < T $

(6 bodů)3. teplíčko v Dysonově sféře

Jaký poloměr by musela mít Dysonova sféra, aby obklopila hvězdu se zářivým výkonem Slunce tak, že na vnějším povrchu této sféry by byla teplota $t= 25 \mathrm{\C }$? Neuvažujte přítomnost atmosféry v Dysonově sféře. Dysonova sféra by měla být relativně tenká dutá struktura kulového tvaru obklopující danou hvězdu.

(8 bodů)4. destrukce smyčky

Představme si měděnou smyčku o poloměru $r$, která je určena rovinou, na níž je kolmé magnetické pole s magnetickou indukcí $B$. Maximální povolené tahové napětí ve smyčce je $\sigma _p$. Nyní začneme měnit magnetický tok ve smyčce z původní hodnoty $\Phi _0$ podle vzahu $\Phi (t) = \Phi _0 + \alpha t$, kde $\alpha $ je kladná konstanta. Určete, za jak dlouho dosáhneme ve smyčce maximálního tahového napětí.

Nápověda: Napěťovou sílu ve smyčce můžeme spočítat jako $T = |BIr|$.

(8 bodů)5. bodová

Uvažujme hmotný bod umístěný v jednodimenzionálním prostoru. Jeho počáteční pozice i rychlost je nulová. Bod se dokáže pohybovat s libovolným zrychlením z intervalu $\left (- a , a\right )$. Nazvěme $M\left (t\right )$ množinu všech možných stavů $\left (x, v\right )$ takových, že bod se v čase $t$ může nacházet na pozici $x$ a zároveň mít rychlost $v$. Sestrojme graf závislosti $v$ na $x$ v čase $t$. Množina $M\left (t\right )$ v tomto grafu vytvoří plochu $S\left (t\right )$. Analyticky popište křivky ohraničující $S\left (t\right )$.

Bonus: Najděte funkční závislost $S\left (t\right )$.

(10 bodů)P. osobní powerbanka

Poslední procenta baterky v mobilu dochází, powerbanku máte vybitou nebo jste si ji pro jistotu nechali doma a 230 také není nikde v dohledu. Nebylo by skvělé mít neustále při sobě vlastní zdroj elektrické energie?

  • Navrhněte několik různých zařízení, která by dokázala vyrábět elektrickou energii pouze ze zdrojů vašeho těla.
  • Diskutujte jejich maximální výkon a účinnost. Co všechno byste s jejich pomocí dokázali zásobovat elektřinou?
  • Diskutujte jejich dopad na vaše zdraví a fyzickou kondici. Které orgány by vám v důsledku jejich přetěžování selhaly nejdříve?

Jako jedno z možných zařízení uvažujte soustavu drobných turbín umístěných v krevním řečišti. Všechny argumenty podpořte co nejpřesnějšími výpočty.

(12 bodů)E. indexovaný kondenzátor

Poštou vám přišel elektrolytický kondenzátor a rezistor. Změřte kapacitu kondenzátoru a odpor rezistoru, neměřte je však přímo. Součin kapacity kondenzátoru a odporu rezistoru je přibližně $RC\approx 20 \mathrm{s}$.

Varování: Elektrolytický kondenzátor má kladnou a zápornou elektrodu, při zapojení opačně ho můžete zničit. Maximální dovolené napětí je $10 \mathrm{V}$.

(10 bodů)S. zobecněná

  1. Mějme vodorovnou desku, ve které je malá dírka. Přes tuto dírku je provlečený provázek o délce $l$, na jehož spodním konci je zavěšeno závaží o hmotnosti $M$. Toto závaží lze považovat za hmotný bod. Na druhém konci provázku na rovné desce je druhý hmotný bod (kulička) o hmotnosti $m$. Provázek mezi nimi je napnutý díky závaží o hmotnosti $M$. Celou soustavu držíme v klidu tak, že část provázku pod deskou je ve svislém směru. Poté druhému hmotnému bodu, kuličce, udělíme rychlost $v$ ve vodorovném směru kolmém na provázek ve chvíli, kdy soustavu uvolníme. V tomto příkladu neuvažujte žádné tření. Zvolte vhodné souřadnice a sestavte Lagrangeovu funkci pro tuto soustavu.
  2. Mějme železnou tyč ohnutou do tvaru paraboly tak, že pokud v kartézské soustavě působí tíhové zrychlení v záporném směru osy $y$, pak tyč má stejný tvar jako funkce $y = x^2$. Po tyči se může volně pohybovat hmotný bod o hmotnosti $M$, ke kterému je pevnou nehmotnou tyčkou o délce $l$ připevněno závaží o hmotnosti $m$. Takto jsme vytvořili kyvadlo se závěsem klouzajícím podél ohnuté tyče. Konstrukce dovoluje pohyb celé soustavy pouze v rovině paraboly. Určete vhodné zobecněné souřadnice a najděte Lagrangeovu funkci této soustavy.
  3. Mějme přímku nakloněnou pod úhlem $\alpha $ vzhledem k vodorovné rovině, po které se pohybuje bez tření hmotný bod o hmotnosti $m$. Najděte vhodné zobecněné souřadnice této soustavy a sestavte Lagrangeovu funkci. Poté sestavte i Lagrangeovy rovnice, dvakrát je zintegrujte, a tak najděte řešení. Zkontrolujte si, zda vaše řešení vychází stejně, jako řešení, které byste získali středoškolskou metodou výpočtu. Při integraci nezapomeňte na integrační konstanty a vysvětlete jejich význam. Jaké budou jejich hodnoty, pokud se bod spustí z klidu z výšky $h$?
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz