Text seriálu 3. série Brožurka s řešeními

1... kreativní řešení problémů

3 body

Danka připojila zahradní hadici s vnitřním průměrem $1{,}5\,\mathrm{cm}$ na vodovodní kohoutek na koleji a druhý konec položila na okraj okna na 8. poschodí ve výšce $23\,\mathrm{m}$ nad zemí. Jaký objemový průtok vody by musel kohoutek mít, aby se Dance podařilo postříkat proudem vody lidi stojící pod kolejí ve vodorovné vzdálenosti $9\,\mathrm{m}$ od budovy, kteří ruší noční klid? Může se to Dance podařit, pokud voda stříká vodorovně a nefouká vítr?

Bonus Kde nejdále mohou stát tito lidé, aby na ně Danka hadicí dostříkla, pokud je objemový průtok kohoutku $0{,}4\,\mathrm{l\cdot s^{-1}}$? Danka teď může konec hadice natočit tak, aby voda stříkala pod libovolným úhlem vůči vodorovné rovině.

~ Dance opravdu vadí hluk v noci pod okny.

2... topení na chalupě

3 body

Danka přišla uprostřed zimy na svou chalupu, kde bylo uvnitř jen $T_1 = 12\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Zapálila proto v krbu oheň, kde topila dřevem s výhřevností $H = 14{,}23\,\mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}$. Kolik ho musí spálit, aby ohřála vzduch vevnitř na $T_2 = 20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$? Chalupa má tvar kvádru s rozměry $a = 6\,\mathrm{m}$, $b = 8\,\mathrm{m}$ a $c = 3\,\mathrm{m}$, kde $c$ je výška stěn, a střechou ve tvaru nepravidelného ležatého trojbokého hranolu s výškou $v = 1{,}5\,\mathrm{m}$, jehož horní hrana je osou půdorysu chalupy. Vzduch zabírá $87\,\mathrm{\%}$ objemu chalupy, jeho hustota je $\rho_{\mathrm{v}} = 1{,}29\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a měrná tepelná kapacita je $c_{\mathrm{v}} = 1~007\,\mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$. Odpovídá výsledek očekávání? Diskutujte nad použitým jednoduchým modelem.

~ Dance bývá na chalupě zima.

3... bobování

5 bodů

Matěj s Davidem se kloužou na bobech z kopce se sklonem $\alpha=29\,\mathrm{^\circ}$, který v jeho patě přechází ve vodorovnou zem. Oba vyrazili z klidu ze stejné výšky. Matějovy boby ujedou vždy stejnou vzdálenost $l$ po nakloněné rovině i ve vodorovné části. Protože se při vyšší zátěži boby proboří hlouběji do sněhu, uvažujte, že třecí koeficient je úměrný normálové síle jako $f(F)=kF$, kde $k$ je kladná konstanta. Určete, kolikrát dále dojede Matěj od paty kopce než David, je-li Davidova hmotnost (i s boby) o $12\,\mathrm{\%}$ vyšší než Matějova. V patě kopce bobaři neztrácí žádnou energii.

~ Matěj se rád baví o bobech.

4... útěk na Tau Ceti

7 bodů

Protože naše Slunce jednou exploduje, bude potřeba zorganizovat stavbu evakuační lodi, v níž alespoň $0{,}000~001\,\mathrm{\%}$ lidstva získá možnost uniknout. Pro únik si vyberou hvězdu Tau Ceti vzdálenou $12\,\mathrm{ly}$. Podaří se jim sestrojit motory, které za velmi krátký čas zrychlí loď na cestovní rychlost $v = 0{,}75 c$. Bohužel, právě v polovině vzdálenosti k cíli zpozorují jak explozi Slunce, tak explozi Tau Ceti. Jak dlouho před touto strašlivou scénou exploze nastaly v soustavě spojené s lodí? A kdy v soustavě, ve které jsou Slunce i Tau Ceti nehybné? Předpokládejte, že se vzdálenost mezi oběma hvězdami nemění.

~ Karel chtěl uniknout včas. Ale nepovedlo se.

5... kytarová

10 bodů

Mějme kytaru naladěnou při pokojové teplotě. O kolik půltónů (při temperovaném ladění) se přeladí jednotlivé struny, pokud se přesuneme k táboráku, kde bude o $10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ chladněji? Bude kytara stále znít naladěně? Vzdálenost mezi body upevnění strun je $d = 65\,\mathrm{cm}$. Struny mají hustotu $\rho = 8~900\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, Youngův modul pružnosti $E = 210\,\mathrm{GPa}$ a teplotní roztažnost $\alpha = 17\cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}$.

~ Honzovi se opět rozladila kytara.

P... absurdní kyvadlo

9 bodů

Jaké jevy mohou ovlivnit měření tíhového zrychlení pomocí kyvadla? Odhadněte, kolik platných cifer by musel obsahovat váš výsledek, abyste je naměřili. Uvažujte i jevy, které běžně zanedbáváte.

~ Kačka přemýšlela, co všechno může napsat do diskuze.

E... vybíjená

13 bodů

Třením nabijte předmět a poté proměřte závislost jeho samovolného vybíjení na čase. Určete elektrickou vodivost vzduchu. Uvažujte, že velikost náboje se mění jako \begin{equation*} Q = Q_0 \mathrm{e}^{-\frac{\sigma}{\epsilon}t} \,, \end{equation*} kde $Q_0$ je počáteční náboj, $\epsilon$ je permitivita vzduchu a $\sigma$ je hledaná vodivost.

Nápověda: Zavěste na tenké dlouhé vlákno malý kovový předmět (např. matičku). Třením nabijte brčko a přeneste část náboje na předmět. Měl by se od brčka začít odpuzovat. Z jejich vzájemné vzdálenosti pak určíte součin nábojů a poté vodivost.

Návod pro řešení experimentálních úloh
~ Jarda se tak dlouho pokoušel měřit náboj, až celou úlohu předělal na měření vodivosti.

S... kvanta orbitalů

10 bodů

  1. Podobně jako v seriálu vytvořte pomocí Hückelovy metody matici hamiltoniánu pro molekulu cyklobutadienu a ověřte, že její vlastní čísla jsou $\alpha+2\beta$, $\alpha$, $\alpha$, $\alpha-2\beta$. Načrtněte do diagramu, jaké jsou energie vzniklých orbitalů a jak by je obsadily elektrony. $(4~b)$

    Bonus: Jaký je zásadní rozdíl v charakteru těchto orbitalů a jejich obsazení oproti molekule benzenu, kterou jsme si ukázali v seriálu? Jaké to má pro molekulu cyklobutadienu důsledky? $(2~b)$

  2. Zkuste se vrátit k molekule betakarotenu a znovu spočítat, na jaké vlnové délce by měla absorbovat, tentokrát pomocí Hückelovy metody. Kolik by musel být parametr $\beta$, aby vyšla experimentální hodnota?

    Alternativa Pokud narazíte na problém s diagonalizací hamiltoniánu, proveďte úlohu s molekulou hexa-1,3,5-trienu. Experimentální hodnota absorpce je v tomto případě na vlnové délce $250\,\mathrm{nm}$.

     $(4~b)$

  3. Co se stane s molekulou (stačí taková, která má jen jednoduché vazby), pokud pomocí UV světla excitujeme elektron ze $\sigma$ do $\sigma^\ast$ orbitalu? $(2~b)$

~ Mikuláš znovu naděloval, tentokrát dokonce skoro ve správnou roční dobu.
Pokud hledáte starou webovou stránku, najdete ji na https://old.fykos.cz