3. Série 36. Ročníku

Výběr série

Termín odeslání poštou: 2. 1. 2023
Termín uploadu: 3. 1. 2023 23:59:59

(3 body)1. kreativní řešení problémů

Danka připojila zahradní hadici s vnitřním průměrem $1,5 \mathrm{cm}$ na vodovodní kohoutek na koleji a druhý konec položila na okraj okna na 8. poschodí ve výšce $23 \mathrm{m}$ nad zemí. Jaký objemový průtok vody by musel kohoutek mít, aby se Dance podařilo postříkat proudem vody lidi stojící pod kolejí ve vodorovné vzdálenosti $9 \mathrm{m}$ od budovy, kteří ruší noční klid? Může se to Dance podařit, pokud voda stříká vodorovně a nefouká vítr?

Bonus: Kde nejdále mohou stát tito lidé, aby na ně Danka hadicí dostříkla, pokud je objemový průtok kohoutku $0{,}4 \mathrm{l\cdot s^{-1}}$? Danka teď může konec hadice natočit tak, aby voda stříkala pod libovolným úhlem vůči vodorovné rovině.

(3 body)2. topení na chalupě

figure

Danka přišla uprostřed zimy na svou chalupu, kde bylo uvnitř jen $T_1 = 12 \mathrm{\C }$. Zapálila proto v krbu oheň, kde topila dřevem s výhřevností $H = 14{,}23 \mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}$. Kolik ho musí spálit, aby ohřála vzduch vevnitř na $T_2 = 20 \mathrm{\C }$? Chalupa má tvar kvádru s rozměry $a = 6 \mathrm{m}$, $b = 8 \mathrm{m}$ a $c = 3 \mathrm{m}$, kde $c$ je výška stěn, a střechou ve tvaru nepravidelného ležatého trojbokého hranolu s výškou $v = 1{,}5 \mathrm{m}$, jehož horní hrana je osou půdorysu chalupy. Vzduch zabírá $87 \mathrm{\%}$ objemu chalupy, jeho hustota je $\rho _v = 1{,}29 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a měrná tepelná kapacita je $c_v = 1~007~\mathrm{J.kg^{-1}.K^{-1}}$. Odpovídá výsledek očekávání? Diskutujte nad použitým jednoduchým modelem.

(5 bodů)3. bobování

figure

Matěj s Davidem se kloužou na bobech z kopce se sklonem $\alpha =29 \mathrm{\dg }$, který v jeho patě přechází ve vodorovnou zem. Oba vyrazili z klidu ze stejné výšky. Matějovy boby ujedou vždy stejnou vzdálenost $l$ po nakloněné rovině i ve vodorovné části. Protože se při vyšší zátěži boby proboří hlouběji do sněhu, uvažujte, že třecí koeficient je úměrný normálové síle jako $f(F)=kF$, kde $k$ je kladná konstanta. Určete, kolikrát dále dojede Matěj od paty kopce než David, je-li Davidova hmotnost (i s boby) o $12 \mathrm{\%}$ vyšší než Matějova. V patě kopce bobaři neztrácí žádnou energii.

(7 bodů)4. útěk na Tau Ceti

Protože naše Slunce jednou exploduje, bude potřeba zorganizovat stavbu evakuační lodi, v níž alespoň $0{,}000~001 \%$ lidstva získá možnost uniknout. Pro únik si vyberou hvězdu Tau Ceti vzdálenou $12 \mathrm{ly}$. Podaří se jim sestrojit motory, které za velmi krátký čas zrychlí loď na cestovní rychlost $v = 0{,}75 c$. Bohužel, právě v polovině vzdálenosti k cíli zpozorují jak explozi Slunce, tak explozi Tau Ceti. Jak dlouho před touto strašlivou scénou exploze nastaly v soustavě spojené s lodí? A kdy v soustavě, ve které jsou Slunce i Tau Ceti nehybné? Předpokládejte, že se vzdálenost mezi oběma hvězdami nemění.

(10 bodů)5. kytarová

Mějme kytaru naladěnou při pokojové teplotě. O kolik půltónů (při temperovaném ladění) se přeladí jednotlivé struny, pokud se přesuneme k táboráku, kde bude o $10 \mathrm{\C }$ chladněji? Bude kytara stále znít naladěně? Vzdálenost mezi body upevnění strun je $d = 65 \mathrm{cm}$. Struny mají hustotu $\rho = 8~900 \mathrm{kg.m^{-3}}$, Youngův modul pružnosti $E = 210 \mathrm{GPa}$ a teplotní roztažnost $\alpha = 17 \cdot 10^{-6} \mathrm{K^{-1}}$.

(9 bodů)P. absurdní kyvadlo

Jaké jevy mohou ovlivnit měření tíhového zrychlení pomocí kyvadla? Odhadněte, kolik platných cifer by musel obsahovat váš výsledek, abyste je naměřili. Uvažujte i jevy, které běžně zanedbáváte.

(13 bodů)E. vybíjená

Třením nabijte předmět a poté proměřte závislost jeho samovolného vybíjení na čase. Určete elektrickou vodivost vzduchu. Uvažujte, že velikost náboje se mění jako \[\begin{equation*} Q = Q_0 \eu ^{-\frac {\sigma }{\epsilon }t}  , \end {equation*}\] kde $Q_0$ je počáteční náboj, $\epsilon $ je permitivita vzduchu a $\sigma $ je hledaná vodivost. Nápověda: Zavěste na tenké dlouhé vlákno malý kovový předmět (např. matičku). Třením nabijte brčko a přeneste část náboje na předmět. Měl by se od brčka začít odpuzovat. Z jejich vzájemné vzdálenosti pak určíte součin nábojů a poté vodivost.

Návod na vypracování experimentální úlohy


(10 bodů)S. kvanta orbitalů

  1. Podobně jako v seriálu vytvořte pomocí Hückelovy metody matici hamiltoniánu pro molekulu cyklobutadienu a ověřte, že její vlastní čísla jsou $\alpha +\beta $, $\alpha $, $\alpha $, $\alpha -\beta $. Načrtněte do diagramu, jaké jsou energie vzniklých orbitalů a jak by je obsadily elektrony. $(4~b)$
    Bonus: Jaký je zásadní rozdíl v charakteru těchto orbitalů a jejich obsazení oproti molekule benzenu, kterou jsme si ukázali v seriálu? Jaké to má pro molekulu cyklobutadienu důsledky? $(2~b)$
  2. Zkuste se vrátit k molekule betakarotenu a znovu spočítat, na jaké vlnové délce by měla absorbovat, tentokrát pomocí Hückelovy metody. Kolik by musel být parametr $\beta $, aby vyšla experimentální hodnota?
    Alternativa: Pokud narazíte na problém s diagonalizací hamiltoniánu, proveďte úlohu s molekulou hexa-1,3,5-trienu. Experimentální hodnota absorpce je v tomto případě na vlnové délce $250 \mathrm{nm}$. $(4~b)$
  3. Co se stane s molekulou (stačí taková, která má jen jednoduché vazby), pokud pomocí UV světla excitujeme elektron ze $\sigma $ do $\sigma ^\ast $ orbitalu? $(2~b)$
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Generální partner neuron-logo.jpg

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz