Deadline pro odeslání: 2. 1. 2024, 23:59.

Zadání 3. série 37. ročníku

O semináři Pravidla Jak psát řešení Pořadí řešitelů
Text seriálu 3. série Brožurka s řešeními

1... je tady moc sucho

3 body

Danka má na koleji zvlhčovač vzduchu, který odpařuje vodu z bodu varu, čímž tvoří teplou páru. Přístroj udrží maximálně $V = 3{,}8\,\mathrm{l}$ vody, kterou spotřebuje za $t = 24\,\mathrm{h}$. Jaká je jeho účinnost, neboli jakou část energie odebrané z elektrické sítě spotřebuje na přeměnu vody na páru? Příkon zvlhčovače je $P = 260\,\mathrm{W}$ a Danka do něj nalila vodu o teplotě $T_0 = 20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Potřebné vlastnosti vody si dohledejte.

~ Danka musí v zimě na koleji používat zvhlčovač vzduchu.

2... stabilní ovečka

3 body

Mějme obdélníkovou desku a na ní položený blok dřeva o rozměrech $a=20\,\mathrm{cm}$, $b=10\,\mathrm{cm}$ a $c=5\,\mathrm{cm}$ (tvar obráceného písmene $L$, naše aproximace tvaru ovce), přičemž hrany desky jsou rovnoběžné k hranám podstavy bloku. Jaký úhel náklonu desky je potřebný, aby se blok převrhnul, pokud ji postupně naklápíme okolo každé z hran desky (viz obrázek)? Předpokládejte, že se blok převrhne dříve, než se začne smýkat.

~ Dodo sledoval ovce na svahu.

3... náhodně dál dojdeš

5 bodů

V mikrosvětě buněk rozlišujeme dva typy transportu: transport pomocí volné difuze, tj. Brownova pohybu, kde pohyb využívá přímo energie prostředí, a tzv. aktivní transport, který vyžaduje například proteinový motor pohybující se konstantní rychlostí po cytoskeletálním vlákně. Uvažujme typickou hodnotu difuzní konstanty $D \approx 10^{-9}\,\mathrm{cm^2\cdot s^{-1}}$ a rychlost aktivního transportu $u\approx10^{-6}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Pro jaké vzdálenosti se časově vyplatí difuzní a kdy naopak aktivní způsob pohybu? Uvažujte, že transport probíhá jen v jednom rozměru.

~ Marek J. četl Sekimota.

4... na velikosti záleží

8 bodů

Koule s poloměrem $r$ se valí po vodorovném povrchu rychlostí $v_0$. Cestu jí však blokuje kolmý schod o výšce $h$. Najděte podmínky, za kterých se koule na schod převalí a začne se po něm kutálet, aniž by se schodem ztratila kontakt. Za těchto podmínek určete její rychlost po překonání schodu. Předpokládejte, že jsou všechny srážky dokonale nepružné a že tření mezi koulí a schodem je velké. Schod je hranatý a je postavený kolmo na směr pohybu koule.

~ Dodo měl malá kolečka.

5... vzduch pod vodou

10 bodů

Uvažujme válcovou skleničku o zanedbatelné hmotnosti, ploše vnitřního průřezu $S$ a výšce $h$, kterou obrátíme dnem vzhůru a její otevřený okraj zarovnáme s hladinou vody v rezervoáru. Potom začneme pomalu tlačit směrem dolů. Jakou práci vykonáme, jestliže takto posuneme sklenici i se vzduchem uvnitř tak, aby byla její podstava $d>0$ pod hladinou?

Bonus: Uvažujme nyní realističtější případ. Jakou práci musíme vykonat, abychom sklenici o stejných rozměrech, ale hmotnosti $m$, úplně ponořili na dno nádoby o ploše $A$, v níž voda dosahuje na začátku výšky $H$? Uvažujte, že sklenice je po dosažení dna celá potopená.

~ Jarda by se na Titanic podívat nejel...

P... bleskem

9 bodů

Na čem závisí šířka kanálu blesku v bouřce? Vytvořte kvantitativní model.

~ Karel narazil na tvrzení o hromosvodu Sky Tower.

E... akustický teploměr

12 bodů

Upevněte strunu ve dvou bodech o pevné vzdálenosti $L$ a zajistěte, aby byla při měření vždy napnutá. Určete závislost základní frekvence jejích kmitů na teplotě.

Návod pro řešení experimentálních úloh
~ Honzovi Bendovi hráblo.

S... vážení riešitelia

10 bodů

  1. Preveďte z definícií príslušných základných jednotiek do jednotiek SI
    • tlak $1\,\mathrm{psi}$,
    • energiu $1\,\mathrm{foot-pound}$,
    • silu $1\,\mathrm{dyn}$.
  2. V difrakčnom experimnente bola nameraná mriežková konštanta (dĺžka hrany elementárnej bunky) kuchynskej soli ako $563\,\mathrm{pm}$. Známa je tiež jej hustota $2{,}16\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$, a že kryštalizuje v kubickej, plošne centrovanej sústave. Určite hodnotu atómovej hmotnostnej jednotky.
  3. Tenká tyč dlhá $l$ s dĺžkovou hmotnosťou $\lambda$ leží na valci s polomerom $R$ kolmo na jeho os symetrie. Na každom konci tyče je umiestnené závažie s hmotnosťou $m$ tak, že tyč je vo vodorovnej polohe. Hmotnosť jedného závažia opatrne zvýšime na $M$. Aký uhol voči vodorovnému smeru tyč zaujme? Predpokladajte, že tyč z valca neskĺzne.
  4. Ako by ste zmerali hmotnosť:
    • astronauta na Medzinárodnej vesmírnej stanici,
    • naloženého ropného tankeru,
    • malého asteroidu mieriaceho k Zemi?

~ Dodo si stále pletie váhu a hmotnosť.
Pokud hledáte starou webovou stránku, najdete ji na https://old.fykos.cz