Zadání 1. série 37. ročníku

Některé druhy živočichů, jako jsou kytovci, se orientují pomocí echolokace. Předpokládejme, že kytovec vydává zvukový signál hrtanem umístěným přesně mezi ušima vzdálenýma $a$. Uvažujme, že ve stejné hloubce jako velryba pluje ponorka. Vydaný zvuk se od ní odrazí a k bližšímu uchu dorazí za čas $t$ od okamžiku vyslání. Je-li časový posun mezi zachycením zvuku pravým a levým uchem $\Delta t$, jaká je vzdálenost a směr k ponorce?

Jarda stojí na konci nástupiště a čeká na příjezd svého vlaku. Když kolem něj projíždí první vagón vlaku, zjistí, že právě v tomto voze má svoji místenku. V tomto okamžiku je rychlost vlaku $8{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a vlak začne rovnoměrně zpomalovat, až zastaví za čas $28\,\mathrm{s}$. Jarda se ihned rozešel ke dveřím svého vagónu, protože se ale musí prodírat davy cestujících, je jeho rychlost jen $1\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Jak nejméně dlouho musí vlak ve stanici stát, aby Jarda stihnul nastoupit do svého vagónu?

Cyklista o hmotnosti $m_{\mathrm{c}}=62{,}3\,\mathrm{kg}$ se na svém kole rozjede konstantním výkonem z klidu na cílovou rychlost za čas $t=103\,\mathrm{s}$. Ocelový rám a vidlice jeho bicyklu má hmotnosti $M=6{,}50\,\mathrm{kg}$ a každé z obou kol hmotnost $m=1~950\,\mathrm{g}$. Jak dlouho by mu to trvalo, kdyby se rozjížděl na kole s karbonovým rámem a vidlicí, které je čtyřikrát lehčí? Hmotnost ostatních částí bicyklu je zahrnuta v hmotnosti cyklisty.

Legolasovi se zdál sen, ve kterém kamion zabrzdil tak rychle, že se kontejner zdvihl ze země a udělal salto nad kabinou. Zajímalo ho, jestli je to možné, tak se pokusil spočítat si to. V jeho modelu má celý kamion hmotnost $m$ a je složen z tahače a kontejneru. Ten se může ve všech směrech volně otáčet okolo bodu, kde je s tahačem spojený. Když je kamion na vodorovné cestě, je těžiště kontejneru o $h$ výše než tento spoj a o $l$ za ním. Jakou silou, v závislosti na sklonu silnice $\phi$, musí kamión brzdit, aby se kola pod kontejnerem zvedla z cesty?

V zimě Matěj našel balík polystyrenu o objemu $0{,}5\,\mathrm{m^3}$ a rozhodl se, že ho využije. Vyrobí si z něj krabici tvaru krychle a ze zamrzlého rybníku si pak nařeže led, který v polystyrenu uschová ve sklepě, kde je konstantní teplota $9\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Jak velkou by měl Matěj vyrobit krychli, aby mu v ní po půl roce zbylo co největší množství ledu? A kolik kilogramů ledu mu zbude? Uvažujte, že led z rybníka má teplotu přesně $0\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Objem polystyrenu spotřebovaný na hrany krychle zanedbejte.

Nápověda: Součinitel tepelné vodivosti je nejsnadněji dohledatelný parametr polystyrenu.

Kolik paliva potřebujeme k vynesení předmětu o hmotnosti $m=1\,\mathrm{kg}$ na nízkou oběžnou dráhu za použití současných technologií?

Změřte koeficient statického tření mezi dvěma listy kancelářského papíru.

1. Za ako dlho sa v dlhodobom priemere posunie jarná rovnodennosť o jeden deň pri používaní Gregoriánskeho kalendára?
2. O koľko sa zmení doba kmitu kyvadla s dobou kmitu $t=1\,\mathrm{s}$ pri zmene teploty o $T=10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, ak je tyč a aj na nej zavesené oveľa ťažšie závažie vyrobené z medi? Akými procesmi na takéto kyvadlo vplýva zmena atmosférického tlaku a vlhkosti vzduchu?
3. Odhadnite akú dĺžku má najkratšia „tyč“ z kremeňa, ktorá rezonuje na frekvencii $f=5\,\mathrm{MHz}$? Uvažujte hustotu kremeňa $\rho=2{,}65\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$ a modul pružnosti $E \approx 80\,\mathrm{GPa}$ a kmity v pozdĺžnom smere s jedným koncom upevneným a druhým voľným.
4. Majme izotop $\ce{^{a} X}$, ktorý sa s polčasom $T_{1/2}$ rozpadá na izotop $\ce{^{b}Y}$. Vo vzorke zmeriame vo viacerých miestach relatívne zastúpenie izotopov materského a dcérskeho nuklidu voči inému izotopu dcérskeho prvku, o ktorom predpokladáme v čase nemenné zastúpenie: $\left[\ce{^{a}X}\right]/\left[\ce{^{c}Y}\right]$, $\left[\ce{^{b}Y}\right]/\left[\ce{^{c}Y}\right]$. Ako určíme vek vzorky $t$? Oba izotopy prvku Y sú stabilné a vyskytujú sa v pôvodnom materiále. Iné jadrové premeny neuvažujte.